Question

отношение синуса суммы двух углов к синусу их разности равно 0,5 разность тангенсов этих углов равна 2. найдите сумму тангенсов этих углов. решите пожалуйста, очень надо!!!

Answer 1

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для синусов и тангенсов, чтобы решить задачу.

Дано: 1. Отношение синуса суммы двух углов к синусу их разности равно 0.5: \[\sin(\alpha + \beta) / \sin(\alpha - \beta) = 0.5\]

2. Разность тангенсов этих углов равна 2: \[\tan(\alpha) - \tan(\beta) = 2\]

Тригонометрические тождества для синусов: \[\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\] \[\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)\]

Теперь мы можем воспользоваться этими тождествами, чтобы переписать уравнение (1) в более удобной форме:

\[\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)}{\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)} = 0.5\]

Умножим обе части уравнения на \(\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)\) (знаменатель), чтобы избавиться от дроби:

\[\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) = 0.5(\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta))\]

Раскроем скобки и упростим:

\[\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) = 0.5\sin(\alpha)\cos(\beta) - 0.5\cos(\alpha)\sin(\beta)\]

Упростим выражение:

\[\sin(\alpha)\cos(\beta) + 0.5\cos(\alpha)\sin(\beta) = 0.5\sin(\alpha)\cos(\beta) - 0.5\cos(\alpha)\sin(\beta)\]

Теперь объединим все члены синусов и косинусов:

\[1.5\sin(\alpha)\cos(\beta) = 1\cos(\alpha)\sin(\beta)\]

Разделим обе части уравнения на \(\sin(\alpha)\cos(\beta)\):

\[\frac{1.5\sin(\alpha)\cos(\beta)}{\sin(\alpha)\cos(\beta)} = \frac{1\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\sin(\alpha)\cos(\beta)}\]

Упростим:

\[1.5 = \tan(\alpha)\]

Теперь воспользуемся вторым уравнением:

\[\tan(\alpha) - \tan(\beta) = 2\]

Подставим \(1.5\) вместо \(\tan(\alpha)\):

\[1.5 - \tan(\beta) = 2\]

Решим уравнение относительно \(\tan(\beta)\):

\[\tan(\beta) = 1.5 - 2 = -0.5\]

Теперь у нас есть значения для \(\tan(\alpha)\) и \(\tan(\beta)\), и мы можем найти их сумму:

\[\tan(\alpha) + \tan(\beta) = 1.5 - 0.5 = 1\]

Таким образом, сумма тангенсов углов \(\alpha\) и \(\beta\) равна \(1\).