Question

Пожалуйста помогите решить с потроением графика функции с помощью производной y=-3x²-12x-9

Answer 1

Да, конечно! Чтобы построить график функции \(y = -3x^2 - 12x - 9\), давайте выполним несколько шагов:

1. Найдем производную функции: \[y' = \frac{d}{dx}(-3x^2 - 12x - 9)\]

Используем правила дифференцирования степеней и констант: \[y' = -6x - 12\]

2. Найдем точки экстремума и точки перегиба: - Для точек экстремума приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[-6x - 12 = 0\] \[-6x = 12\] \[x = -2\]

Таким образом, у нас есть точка экстремума при \(x = -2\).

- Для точек перегиба приравняем вторую производную к нулю: \[\frac{d^2}{dx^2}(-3x^2 - 12x - 9) = -6\]

Вторая производная постоянна и всегда равна -6, так что у нас нет точек перегиба.

3. Определим интервалы увеличения/уменьшения функции: - Если \(y' > 0\), то функция возрастает. - Если \(y' < 0\), то функция убывает.

Подставим точку экстремума (\(x = -2\)) в производную: \[y'(-2) = -6(-2) - 12 = 0\]

Таким образом, функция меняет направление на убывание при \(x < -2\) и на возрастание при \(x > -2\).

4. Найдем точки пересечения с осями: - Для оси \(x\) приравняем \(y\) к нулю: \[-3x^2 - 12x - 9 = 0\]

Решив это квадратное уравнение, мы получим два корня, которые будут точками пересечения с осью \(x\).

- Для оси \(y\) приравняем \(x\) к нулю: \[-3(0)^2 - 12(0) - 9 = -9\]

Таким образом, точка пересечения с осью \(y\) - это \((0, -9)\).

Теперь у нас есть достаточно информации для построения графика функции. Мы знаем точки экстремума, интервалы увеличения/уменьшения функции, и точку пересечения с осью \(y\). График будет параболой, открывающейся вниз, с вершиной в точке экстремума и проходящей через точку пересечения с осью \(y\).