Question

Решить уравнение: 2sin^2(x+270)-7sin(x+90)=4

Answer 1

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. Уравнение выглядит следующим образом:

\[2\sin^2(x + 270) - 7\sin(x + 90) = 4\]

Шаг 1: Преобразование уравнения

Первым шагом мы можем упростить уравнение, используя тригонометрические тождества. Напомним, что \(\sin(x + 180) = -\sin(x)\) и \(\sin(x + 360) = \sin(x)\). Применяя эти тождества, мы можем привести уравнение к более простому виду:

\[2\sin^2(x + 270) - 7\sin(x + 90) = 4\]

\[2\sin^2(x - 90) + 7\sin(x) = 4\]

Шаг 2: Замена переменной

Для упрощения уравнения введем новую переменную, например, \(y = \sin(x)\). Тогда уравнение станет:

\[2y^2 + 7y = 4\]

Шаг 3: Приведение к квадратному уравнению

Преобразуем уравнение к квадратному виду, приравняв его к нулю:

\[2y^2 + 7y - 4 = 0\]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения: \[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае, у нас есть \(a = 2\), \(b = 7\), и \(c = -4\). Подставим эти значения в формулу:

\[y = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(2)(-4)}}{2(2)}\]

\[y = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}\]

\[y = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4}\]

\[y = \frac{-7 \pm 9}{4}\]

Таким образом, у нас есть два значения \(y\):

1. \(y_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) 2. \(y_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4\)

Шаг 5: Обратная замена

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной \(x\), используя обратную замену \(y = \sin(x)\).

1. Когда \(y = \frac{1}{2}\), это означает \(\sin(x) = \frac{1}{2}\). Решение этого уравнения будет \(x = 30^\circ + 360^\circ n\) (где \(n\) - целое число).

2. Когда \(y = -4\), это означает, что уравнение не имеет решений, так как значение синуса ограничено диапазоном от -1 до 1.

Итак, уравнение \(2\sin^2(x + 270) - 7\sin(x + 90) = 4\) имеет одно решение: \(x = 30^\circ + 360^\circ n\), где \(n\) - целое число.