Question

Sin п/8* cos^3 п/8 - sin^3 п/8*cos п/8

Answer 1

Давайте разберем данное математическое выражение пошагово.

Выражение: \( \sin\left(\frac{\pi}{8}\) \cdot \cos^3\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \)

1. Рассмотрим сначала компоненты выражения:

- \( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \) - это синус угла \( \frac{\pi}{8} \). - \( \cos^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \) - это куб косинуса угла \( \frac{\pi}{8} \). - \( \sin^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \) - это куб синуса угла \( \frac{\pi}{8} \). - \( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \) - это косинус угла \( \frac{\pi}{8} \).

2. Теперь подставим значения:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos^3\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos^3\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \]

3. Мы видим, что у нас есть общий множитель \( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \), поэтому мы можем вынести его за скобки:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \left(\cos^3\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\right) \]

4. Теперь можем воспользоваться формулой для разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b) \cdot (a^2 + ab + b^2) \):

\[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\right) \cdot \left(\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)\right) \]

5. Теперь заметим, что \( \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = 1 \), согласно тождеству Пифагора. Подставим это значение:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\right) \cdot 1 \]

6. Сгруппируем слагаемые:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) \]

Таким образом, данное математическое выражение упрощается до \( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) \).