Question

Решите неравенство 6х'2-13х+6<=0

Answer 1

Чтобы решить данное неравенство \(6x^2 - 13x + 6 \leq 0\), мы можем воспользоваться методом интервалов. Сначала найдем корни квадратного уравнения \(6x^2 - 13x + 6 = 0\).

Уравнение \(6x^2 - 13x + 6 = 0\) можно факторизовать или использовать квадратное уравнение. Либо можно воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

В данном случае, у нас есть уравнение \(6x^2 - 13x + 6 = 0\), где \(a = 6\), \(b = -13\) и \(c = 6\).

\[x = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(6)(6)}}{2(6)}.\]

Вычислим значение под корнем:

\[x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{12}.\]

\[x = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{12}.\]

Таким образом, у нас два корня:

\[x_1 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2},\] \[x_2 = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.\]

Теперь мы знаем, что уравнение \(6x^2 - 13x + 6 = 0\) имеет корни при \(x = \frac{3}{2}\) и \(x = \frac{2}{3}\). Эти значения делят весь диапазон переменной \(x\) на три интервала:

1. \((-\infty, \frac{2}{3})\) 2. \([\frac{2}{3}, \frac{3}{2})\) 3. \((\frac{3}{2}, \infty)\)

Теперь выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения \(6x^2 - 13x + 6\) в каждом интервале:

1. Подставим \(x = 0\) (любое значение меньше \(\frac{2}{3}\)): \[6(0)^2 - 13(0) + 6 = 6 \leq 0.\]

2. Подставим \(x = 1\) (любое значение между \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{3}{2}\)): \[6(1)^2 - 13(1) + 6 = -1 \leq 0.\]

3. Подставим \(x = 2\) (любое значение больше \(\frac{3}{2}\)): \[6(2)^2 - 13(2) + 6 = 6 \leq 0.\]

Таким образом, неравенство \(6x^2 - 13x + 6 \leq 0\) выполняется на интервалах \((-\infty, \frac{2}{3}] \cup [\frac{2}{3}, \frac{3}{2}]\).