Question

От поселка до турбазы, двигаясь в гору, велосипедист доехал за 3 ч. При возвращении его средняя скорость оказалась на 7 км/ч больше, поэтому дорога заняла у него на 1 ч меньше. Найди, расстояние от поселка до турбазы.

Answer 1

Пусть \( V_1 \) - это средняя скорость велосипедиста при движении вверх (в гору), \( V_2 \) - средняя скорость при возвращении (вниз), и \( t \) - время в пути в одну сторону (от поселка до турбазы).

Тогда расстояние между поселком и турбазой можно выразить как \( D = V_1 \cdot t \).

По условию, время в пути вверх составляет 3 часа, поэтому \( D = V_1 \cdot 3 \).

При возвращении средняя скорость оказалась на 7 км/ч больше, то есть \( V_2 = V_1 + 7 \).

Возвращение заняло на 1 час меньше, чем в путь вверх, поэтому время возвращения равно \( t - 1 \).

Расстояние можно также выразить как \( D = V_2 \cdot (t - 1) \).

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( D = V_1 \cdot 3 \) 2. \( D = V_2 \cdot (t - 1) \)

Заменим \( V_2 \) во втором уравнении:

\[ D = (V_1 + 7) \cdot (t - 1) \]

Теперь у нас есть два уравнения, связанных расстоянием:

1. \( D = V_1 \cdot 3 \) 2. \( D = (V_1 + 7) \cdot (t - 1) \)

Подставим значение \( D \) из первого уравнения во второе:

\[ V_1 \cdot 3 = (V_1 + 7) \cdot (t - 1) \]

Раскроем скобки:

\[ 3V_1 = V_1 \cdot (t - 1) + 7 \cdot (t - 1) \]

Раскроем еще раз:

\[ 3V_1 = V_1 \cdot t - V_1 + 7t - 7 \]

Теперь объединим члены с \( V_1 \):

\[ 3V_1 = V_1 \cdot t - V_1 + 7t - 7 \]

\[ 2V_1 = V_1 \cdot t + 7t - 7 \]

\[ V_1 \cdot t = 2V_1 - 7t + 7 \]

Теперь мы можем подставить это значение обратно в первое уравнение:

\[ D = V_1 \cdot 3 \]

\[ D = (2V_1 - 7t + 7) \cdot 3 \]

\[ D = 6V_1 - 21t + 21 \]

Теперь у нас есть выражение для расстояния \( D \) в терминах \( V_1 \) и \( t \).

Мы знаем, что \( D = V_1 \cdot 3 \), поэтому мы можем приравнять два выражения:

\[ V_1 \cdot 3 = 6V_1 - 21t + 21 \]

Раскроем скобки:

\[ 3V_1 = 6V_1 - 21t + 21 \]

Теперь соберем все члены с \( V_1 \) в одну сторону:

\[ 0 = 3V_1 - 21t + 21 \]

\[ 21t = 3V_1 + 21 \]

\[ t = \frac{1}{7}V_1 + 1 \]

Теперь мы знаем выражение для времени \( t \) в терминах \( V_1 \).

Мы также знаем, что \( V_2 = V_1 + 7 \), поэтому мы можем выразить \( V_1 \) через \( V_2 \):

\[ V_1 = V_2 - 7 \]

Теперь подставим это значение в уравнение для времени \( t \):

\[ t = \frac{1}{7}(V_2 - 7) + 1 \]

\[ 7t = V_2 - 7 + 7 \]

\[ 7t = V_2 + 7 \]

\[ V_2 = 7t - 7 \]

Теперь у нас есть выражение для \( V_2 \) в терминах \( t \).

Теперь мы можем подставить \( V_2 \) и \( t \) в выражение для расстояния \( D \):

\[ D = 6V_1 - 21t + 21 \]

\[ D = 6(V_2 - 7) - 21t + 21 \]

\[ D = 6V_2 - 42 - 21t + 21 \]

\[ D = 6V_2 - 21t - 21 \]

Теперь заменим \( V_2 \) и \( t \):

\[ D = 6(7t - 7) - 21t - 21 \]

\[ D = 42t - 42 - 21t - 21 \]

\[ D = 21t - 63 \]

Таким образом, расстояние от поселка до турбазы равно \( 21t - 63 \), где \( t \) выражается как \( \frac{1}{7}(V_2 - 7) + 1 \).