Question

Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 8, а боковые ребра равны 5. Найдите объем пирамиды

Answer 1

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды нужно использовать формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h \]

Где \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды.

У нас дана диагональ основания \( 8 \) и боковые ребра \( 5 \). Поскольку это правильная четырехугольная пирамида, основание у нее квадратное. Мы можем найти сторону основания, используя свойства квадрата и диагонали:

Пусть \( d \) - диагональ квадрата, а \( a \) - его сторона. Тогда:

\[ d = a\sqrt{2} \]

\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} \] \[ a = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \]

Теперь у нас есть сторона квадрата основания. Площадь квадрата:

\[ S_{\text{осн}} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32 \]

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Для этого можем использовать теорему Пифагора в треугольнике, образованном боковой стороной, высотой пирамиды и половиной диагонали основания:

\[ \text{Высота}^2 = (\text{Боковая сторона})^2 - (\frac{\text{Диагональ основания}}{2})^2 \] \[ h^2 = 5^2 - (\frac{8}{2})^2 \] \[ h^2 = 25 - 16 \] \[ h^2 = 9 \] \[ h = 3 \]

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, можем найти объем:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h \] \[ V = \frac{1}{3} \times 32 \times 3 \] \[ V = 32 \]

Ответ: объем пирамиды равен \( 32 \) кубическим единицам.