Question

Объясните пожалуйста как решить. 2sin(2x+π/3)-3cosx=sin(2x)-√3

Answer 1

Давайте решим уравнение шаг за шагом. У вас дано уравнение:

\[2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 3\cos(x) = \sin(2x) - \sqrt{3}.\]

1. Раскроем \(\sin(2x + \frac{\pi}{3})\) с использованием тригонометрической формулы для синуса:

\[2\left(2\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) - 3\cos(x) = \sin(2x) - \sqrt{3}.\]

Тригонометрическая формула для \(\sin(\alpha + \beta)\) гласит: \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\). В данном случае \(\alpha = 2x\) и \(\beta = \frac{\pi}{3}\).

2. Упростим выражение:

\[4\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - 3\cos(x) = \sin(2x) - \sqrt{3}.\]

Используем значения тригонометрических функций при \(\frac{\pi}{3}\):

\[4\sin(x)\left(\frac{1}{2}\right) - 3\cos(x) = \sin(2x) - \sqrt{3}.\]

\[2\sin(x) - 3\cos(x) = \sin(2x) - \sqrt{3}.\]

3. Переносим все члены уравнения на одну сторону:

\[2\sin(x) - 3\cos(x) - (\sin(2x) - \sqrt{3}) = 0.\]

\[2\sin(x) - 3\cos(x) - \sin(2x) + \sqrt{3} = 0.\]

4. Применим тригонометрические формулы для \(\sin(2x)\):

\[2\sin(x) - 3\cos(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \sqrt{3} = 0.\]

5. Сгруппируем подобные члены:

\[-2\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 3\cos(x) + \sqrt{3} = 0.\]

6. Факторизуем:

\[ -2\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 3\cos(x) + \sqrt{3} = 0.\]

\[ -\sin(x)(2\cos(x) - 2) - 3\cos(x) + \sqrt{3} = 0.\]

\[ \sin(x)(2\cos(x) - 2) + 3\cos(x) - \sqrt{3} = 0.\]

7. Решим уравнение \(\sin(x) = 0\) и \(2\cos(x) - 2 = 0\):

\[ \sin(x) = 0 \implies x = k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z}.\]

\[ 2\cos(x) - 2 = 0 \implies \cos(x) = 1 \implies x = 2k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z}.\]

Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений вида \(x = k\pi\) и \(x = 2k\pi\), где \(k\) - целое число.