Question

Вероятность промаха при одном выстреле по мишени равна 0,1. Сколько выстрелов необходимо произвести, чтобы с вероятностью 0,9544 можно было утверждать, что относительная частота промаха отклонится от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Answer 1

Давайте решим эту задачу с использованием нормального распределения. Предположим, что вероятность промаха при одном выстреле имеет нормальное распределение с математическим ожиданием (средним) p и стандартным отклонением \( \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \), где n - количество выстрелов.

Ваша задача заключается в том, чтобы найти n, при котором относительная частота промаха отклонится от постоянной вероятности более чем на 0,03 с вероятностью 0,9544.

Для этого давайте воспользуемся правилом трех сигм (правило 3-х сигм). Вероятность того, что случайная величина отклонится от среднего значения более чем на 3 стандартных отклонения, приблизительно равна 0,9544.

Таким образом, у нас есть уравнение:

\[ p + 3 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = 0,1 + 0,03 \]

Решим это уравнение относительно n:

\[ n = \frac{p(1-p)}{\left(\frac{0,1 + 0,03 - p}{3}\right)^2} \]

Подставим p = 0,1:

\[ n = \frac{0,1(1-0,1)}{\left(\frac{0,1 + 0,03 - 0,1}{3}\right)^2} \]

\[ n = \frac{0,1 \times 0,9}{\left(\frac{0,03}{3}\right)^2} \]

\[ n = \frac{0,09}{\left(\frac{0,01}{3}\right)^2} \]

\[ n = \frac{0,09}{\left(\frac{0,01}{9}\right)} \]

\[ n = \frac{0,09}{0,001111...} \]

\[ n \approx 81 \]

Таким образом, чтобы с вероятностью 0,9544 относительная частота промаха отклонилась от постоянной вероятности более чем на 0,03, необходимо произвести примерно 81 выстрел.