Question

Найти производную функции f(x)=(1/8x^8-5)^6

Answer 1

Для нахождения производной функции f(x) = (1/8x^8 - 5)^6, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции, также известное как правило цепной дифференциации или правило Лейбница.

Правило дифференцирования сложной функции:

Если у нас есть функция g(x) = h(u(x)), где u(x) - это функция, а h(t) - это функция от t, которая дифференцируема, то производная g'(x) может быть найдена следующим образом:

g'(x) = h'(u(x)) * u'(x)

Производные базовых функций:

Перед тем, как начать, давайте вспомним производные базовых функций:

1. Пусть c - это константа. Тогда производная константы равна нулю: (d/dx)(c) = 0. 2. Производная функции x^n, где n - целое число, равна n*x^(n-1): (d/dx)(x^n) = n*x^(n-1). 3. Пусть u(x) и v(x) - это функции, а c - это константа. Тогда производная суммы функций равна сумме производных: (d/dx)(u(x) + v(x)) = (d/dx)(u(x)) + (d/dx)(v(x)). 4. Производная произведения функций равна произведению производных: (d/dx)(u(x) * v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). 5. Производная частного функций равна (производная первой функции * вторая функция - первая функция * производная второй функции) / (вторая функция)^2: (d/dx)(u(x) / v(x)) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))^2.

Нахождение производной функции f(x):

Давайте применим правило дифференцирования сложной функции к нашей функции f(x) = (1/8x^8 - 5)^6.

У нас есть функция g(x) = h(u(x)), где h(t) = t^6, а u(x) = 1/8x^8 - 5. Тогда производная g'(x) будет равна:

g'(x) = h'(u(x)) * u'(x)

Нахождение производной h'(t):

Производная функции h(t) = t^6 будет равна:

h'(t) = 6t^(6-1) = 6t^5

Нахождение производной u'(x):

Производная функции u(x) = 1/8x^8 - 5 будет равна:

u'(x) = (1/8 * 8x^(8-1)) - 0 = x^7

Нахождение производной g'(x):

Теперь, зная производные h'(t) и u'(x), мы можем найти производную g'(x):

g'(x) = h'(u(x)) * u'(x) = 6(1/8x^8 - 5)^5 * x^7

Вычисление производной функции f(x):

Наконец, мы можем вычислить производную функции f(x) = (1/8x^8 - 5)^6, используя производную g'(x):

f'(x) = g'(x) = 6(1/8x^8 - 5)^5 * x^7

Таким образом, производная функции f(x) будет равна 6(1/8x^8 - 5)^5 * x^7.