Question

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 4 см, с основанием цилиндра она образует угол в 60°. Определи диаметр основания D этого цилиндра.

Answer 1

Давайте обозначим диаметр основания цилиндра как \(D\), а его радиус как \(r\). Также у нас есть информация о диагонали осевого сечения и угле, который она образует с основанием.

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 4 см. Эта диагональ представляет собой гипотенузу треугольника, образованного радиусом цилиндра (\(r\)) и половиной диаметра основания (\(D/2\)).

Используем теорему Пифагора: \[ r^2 + \left(\frac{D}{2}\right)^2 = 4^2 \] \[ r^2 + \frac{D^2}{4} = 16 \]

2. Угол между диагональю и основанием цилиндра составляет 60 градусов. Этот угол соответствует углу между гипотенузой и одним из катетов прямоугольного треугольника.

Используем тангенс угла: \[ \tan(60^\circ) = \frac{r}{\frac{D}{2}} \] \[ \sqrt{3} = \frac{r}{\frac{D}{2}} \] \[ r = \frac{D}{2} \sqrt{3} \]

Теперь у нас есть два уравнения, связанных с радиусом \(r\) и диаметром \(D\):

\[ r^2 + \frac{D^2}{4} = 16 \] \[ r = \frac{D}{2} \sqrt{3} \]

Подставим второе уравнение в первое:

\[ \left(\frac{D}{2} \sqrt{3}\right)^2 + \frac{D^2}{4} = 16 \] \[ \frac{3D^2}{4} + \frac{D^2}{4} = 16 \] \[ \frac{4D^2}{4} = 16 \] \[ D^2 = 16 \] \[ D = 4 \, \text{см} \]

Таким образом, диаметр основания этого цилиндра равен 4 см.