Question

в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15см,а один из катетов 9см,найдите а)синус меньшего острого угла треугольника,б)сумму квадратов синусов острых углов,в)сумму тангенса и котангенса одного из острых углов,г)квадрат суммы синуса и косинуса каждого из острых углов.все расписать что и почему даю 30баллов))пожалуйстааа я уже 5раз отправляю

Answer 1

Конечно, давайте решим поставленные задачи.

Обозначим гипотенузу через \(c\), катет \(a\) (меньший катет) и катет \(b\) (больший катет). В данной задаче \(c = 15\) см, \(a = 9\) см.

1. Найдем синус меньшего острого угла треугольника (\(\sin \alpha\)). Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе: \[\sin \alpha = \frac{a}{c}\]

Подставим известные значения:

\[\sin \alpha = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\]

Таким образом, \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\).

2. Найдем сумму квадратов синусов острых углов (\(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta\)). В прямоугольном треугольнике сумма квадратов синусов острых углов всегда равна 1:

\[\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = 1\]

Подставим значение \(\sin \alpha\):

\[\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \sin^2 \beta = 1\]

Решим для \(\sin^2 \beta\):

\[\sin^2 \beta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\]

Таким образом, \(\sin^2 \beta = \frac{16}{25}\).

3. Найдем сумму тангенса и котангенса одного из острых углов (\(\tan \alpha + \cot \alpha\)). Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету, а котангенс - как отношение прилежащего катета к противолежащему:

\[\tan \alpha = \frac{a}{b}, \quad \cot \alpha = \frac{b}{a}\]

Тогда:

\[\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}\]

Подставим известные значения:

\[\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{9^2 + b^2}{9b}\]

Нам неизвестно значение \(b\), поэтому ответ останется в таком виде.

4. Найдем квадрат суммы синуса и косинуса каждого из острых углов (\((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \beta + \cos \beta)^2\)).

В прямоугольном треугольнике косинус угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\[\cos \alpha = \frac{b}{c}\]

Тогда:

\[(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}\right)^2 = \left(\frac{a + b}{c}\right)^2\]

Подставим известные значения:

\[(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(\frac{9 + b}{15}\right)^2\]

Аналогично для \(\beta\):

\[(\sin \beta + \cos \beta)^2 = \left(\frac{a + b}{c}\right)^2 = \left(\frac{9 + b}{15}\right)^2\]

Таким образом, оба выражения равны.

Следовательно, \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \beta + \cos \beta)^2 = 2\left(\frac{9 + b}{15}\right)^2\).

Надеюсь, это поможет! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.