Question

Докажите, что из 7 целых чисел всегда можно выбрать 3 , сумма которых делится на 3

Answer 1

Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться принципом Дирихле, также известным как принцип ящиков и шаров. В данном случае "ящики" будут представлять собой остатки от деления чисел на 3 (остатки 0, 1 и 2), а "шары" будут представлять собой 7 целых чисел.

Если взять любые 7 целых чисел, то по принципу Дирихле как минимум два из них имеют одинаковые остатки при делении на 3. Пусть это будут числа a и b, где a и b - различные числа из выбранных.

Теперь рассмотрим три случая:

1. Если a и b имеют остаток 0 при делении на 3, то их сумма также имеет остаток 0. 2. Если a и b имеют остаток 1 при делении на 3, то их сумма имеет остаток 2. 3. Если a и b имеют остаток 2 при делении на 3, то их сумма имеет остаток 1.

Таким образом, в каждом из трех случаев мы можем выбрать три числа с суммой, делящейся на 3. Таким образом, из любых 7 целых чисел всегда можно выбрать 3, сумма которых делится на 3.