Question

Решите уравнение x+8/5x+7 = x+8/7x+5

Answer 1

Для решения уравнения, давайте приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей \( \frac{8}{5x + 7} \) и \( \frac{8}{7x + 5} \) будет произведение данных знаменателей, то есть \( (5x + 7)(7x + 5) \).

Уравнение имеет вид:

\[ \frac{x + 8}{5x + 7} = \frac{x + 8}{7x + 5} \]

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

\[ (5x + 7)(7x + 5) \cdot \frac{x + 8}{5x + 7} = (5x + 7)(7x + 5) \cdot \frac{x + 8}{7x + 5} \]

Сократим общие множители:

\[ (7x + 5)(x + 8) = (5x + 7)(x + 8) \]

Раскроем скобки:

\[ 7x^2 + 56 + 5x + 40 = 5x^2 + 35x + 7x + 56 \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ 7x^2 + 5x^2 + 56 + 40 - 56 - 35x - 7x = 0 \]

Сложим подобные члены:

\[ 12x^2 - 42x + 40 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы найти решения, можно воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном уравнении:

\[ a = 12, \ b = -42, \ c = 40 \]

Подставим значения:

\[ x = \frac{42 \pm \sqrt{(-42)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 40}}{2 \cdot 12} \]

\[ x = \frac{42 \pm \sqrt{1764 - 1920}}{24} \]

\[ x = \frac{42 \pm \sqrt{-156}}{24} \]

Так как подкоренное значение отрицательное, у уравнения нет действительных корней. Уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.