Question

Число 20! = 1·2·. . .·20 = 2 432 902 008 176 640 000 имеет 41 040 натуральных делителей. Сколько среди них нечётных?

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним, что факториал числа n, обозначаемый как n!, равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n. В данном случае, 20! равно 1 * 2 * 3 * ... * 20.

Теперь у нас есть число 20! = 2 432 902 008 176 640 000. Это число имеет 41 040 натуральных делителей. Нам нужно определить, сколько из них нечётных.

Для этого рассмотрим степени простых чисел в разложении 20! на простые множители. Простые числа от 1 до 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Для каждого простого числа найдем, в какой степени оно входит в разложение 20!. Затем мы можем определить количество делителей, учитывая, что каждый делитель получается путем выбора степени каждого простого делителя.

1. Число 2 входит в разложение 20! следующее количество раз: 2^18. Таким образом, у нас есть 19 + 1 = 20 вариантов выбора для степени числа 2. 2. Число 3 входит 8 раз: 3^8, поэтому у нас есть 9 вариантов выбора для степени числа 3. 3. Число 5 входит 4 раза: 5^4, поэтому у нас есть 5 вариантов выбора для степени числа 5. 4. Число 7 входит 2 раза: 7^2, поэтому у нас есть 3 варианта выбора для степени числа 7. 5. Число 11 входит 1 раз: 11^1, поэтому у нас есть 2 варианта выбора для степени числа 11. 6. Число 13 входит 1 раз: 13^1, поэтому у нас есть 2 варианта выбора для степени числа 13. 7. Число 17 входит 1 раз: 17^1, поэтому у нас есть 2 варианта выбора для степени числа 17. 8. Число 19 входит 1 раз: 19^1, поэтому у нас есть 2 варианта выбора для степени числа 19.

Теперь, чтобы определить количество нечётных делителей, мы можем выбирать только нечётные степени простых чисел. Таким образом, ответ будет равен произведению количества вариантов для каждого простого числа:

\(20 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 17280.\)

Таким образом, у числа 20! есть 17,280 нечётных натуральных делителей.