Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=1-x^2 , y=0 , y=-1 , y=1

Answer 1

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций, в данном случае линиями y = 1 - x^2, y = 0, y = -1 и y = 1, мы можем использовать метод интегрирования.

Шаг 1: Нарисовать графики функций

Первым шагом давайте нарисуем графики функций, чтобы визуализировать фигуру, ограниченную этими линиями.


Шаг 2: Найти точки пересечения

Для вычисления площади фигуры, нам необходимо найти точки пересечения графиков.

Выполняя алгебраические вычисления, мы можем найти эти точки:

1. y = 1 - x^2 и y = 0:

Подставляя y = 0 в уравнение y = 1 - x^2, получаем: 0 = 1 - x^2 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, точки пересечения для этих двух линий: (-1, 0) и (1, 0).

2. y = 1 - x^2 и y = -1:

Подставляя y = -1 в уравнение y = 1 - x^2, получаем: -1 = 1 - x^2 x^2 = 2 x = ±√2

Таким образом, точки пересечения для этих двух линий: (-√2, -1) и (√2, -1).

3. y = 1 - x^2 и y = 1:

Подставляя y = 1 в уравнение y = 1 - x^2, получаем: 1 = 1 - x^2 x^2 = 0 x = 0

Таким образом, точка пересечения для этих двух линий: (0, 1).

Шаг 3: Вычислить площадь с помощью интеграла

Теперь, когда у нас есть точки пересечения графиков, мы можем использовать интеграл для вычисления площади фигуры.

Фигура ограничена сверху графиком y = 1, снизу графиком y = -1, слева графиком y = 0 и справа графиком y = 1 - x^2.

Вычислим площадь фигуры, интегрируя функцию y = 1 - x^2 от x = -√2 до x = √2:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx
  = ∫[-√2, √2] (1 - (1 - x^2)) dx
  = ∫[-√2, √2] (x^2) dx
  = [x^3/3] [-√2, √2]
  = (√2^3/3 - (-√2^3/3))
  = (2√2/3 + 2√2/3)
  = 4√2/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 - x^2, y = 0, y = -1 и y = 1, равна 4√2/3 (приближенно 1.88 квадратных единиц).