Question

Log5(x2+x+1)=log5(4x-1)

Answer 1

Для решения уравнения \( \log_5(x^2 + x + 1) = \log_5(4x - 1) \), мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что если \(\log_a(b) = \log_a(c)\), то \(b = c\).

Итак, у нас есть:

\[ \log_5(x^2 + x + 1) = \log_5(4x - 1) \]

Согласно свойству логарифмов, мы можем утверждать, что:

\[ x^2 + x + 1 = 4x - 1 \]

Теперь давайте решим это уравнение:

1. Переносим все члены на одну сторону уравнения: \[ x^2 + x + 1 - (4x - 1) = 0 \] \[ x^2 + x + 1 - 4x + 1 = 0 \]

2. Сгруппируем подобные члены: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

3. Теперь давайте решим квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для этого: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -3\), и \(c = 2\).

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} \]

Таким образом, у нас есть два решения:

\[ x = \frac{3 + 1}{2} = 2 \]

и

\[ x = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]

Поэтому уравнение \( \log_5(x^2 + x + 1) = \log_5(4x - 1) \) имеет два решения: \(x = 1\) и \(x = 2\). Но, прежде чем окончательно утверждать это, проверьте оба значения, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы удостовериться, что они являются действительными решениями.