Question

Найдите промежутки монотонности функции y=-1/3x^3+1/2x^2+1

Answer 1

Для нахождения промежутков монотонности функции y = -1/3x^3 + 1/2x^2 + 1, нам понадобится проанализировать производную этой функции. Производная функции позволяет нам определить, как функция меняется на различных участках.

Давайте начнем с нахождения производной функции y по x. Для этого нам понадобится применить правила дифференцирования. Производная от каждого члена функции будет выглядеть следующим образом:

y' = d/dx (-1/3x^3) + d/dx (1/2x^2) + d/dx (1)

Теперь продифференцируем каждый член:

y' = (-1/3) * d/dx (x^3) + (1/2) * d/dx (x^2) + 0

Продолжим дифференцирование:

y' = (-1/3) * 3x^2 + (1/2) * 2x

y' = -x^2 + x

Теперь мы получили производную функции y. Чтобы найти промежутки монотонности, нам нужно решить неравенство y' > 0 или y' < 0.

Промежутки монотонности

Для нахождения промежутков монотонности, мы должны определить, когда производная функции y положительна (y' > 0) и когда она отрицательна (y' < 0).

Для этого решим неравенство y' > 0:

-x^2 + x > 0

Сначала найдем точки, где левая часть неравенства равна нулю:

-x^2 + x = 0

x(-x + 1) = 0

x = 0 или x = 1

Теперь мы можем построить таблицу знаков для определения промежутков монотонности:

x < 0 0 < x < 1 x > 1 y' > 0 - + + y' < 0 + - -

Итак, функция y = -1/3x^3 + 1/2x^2 + 1 возрастает на интервалах (0, 1) и (1, +∞), а убывает на интервале (-∞, 0).

График функции

Для лучшего понимания промежутков монотонности, давайте построим график функции y = -1/3x^3 + 1/2x^2 + 1:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = -1/3*x3 + 1/2*x2 + 1

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = -1/3x^3 + 1/2x^2 + 1')
plt.grid(True)
plt.show()

График будет иметь форму кубической кривой и будет возрастать на интервалах (0, 1) и (1, +∞), а убывать на интервале (-∞, 0).