Question

Решите уравнение z(Imz-4)=10-4i

Answer 1

Давайте решим уравнение \(z(\Im(z) - 4) = 10 - 4i\), где \(z\) - комплексное число, \(i\) - мнимая единица.

Распишем уравнение:

\[z(\Im(z) - 4) = 10 - 4i\]

Раскроем скобки:

\[z\Im(z) - 4z = 10 - 4i\]

Теперь приведем подобные члены:

\[z\Im(z) - 4z + 4i = 10\]

Получаем квадратное уравнение относительно \(z\):

\[z\Im(z) - 4z + 4i - 10 = 0\]

Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения:

\[z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(az^2 + bz + c = 0\).

В нашем случае:

\[a = \Im(z), \quad b = -4, \quad c = 4i - 10\]

Теперь подставим значения в формулу:

\[z_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(\Im(z))(4i - 10)}}{2\Im(z)}\]

Упростим выражение:

\[z_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4\Im(z)(4i - 10)}}{2\Im(z)}\]

\[z_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16\Im(z)i + 40\Im(z)}}{2\Im(z)}\]

\[z_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{40\Im(z) - 16\Im(z)i + 16}}{2\Im(z)}\]

Теперь можно разделить числитель и знаменатель на 2:

\[z_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{10\Im(z) - 4\Im(z)i + 4}}{\Im(z)}\]

\[z_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(2\sqrt{10}\sqrt{\Im(z)} - 2i)^2}}{\Im(z)}\]

\[z_{1,2} = \frac{2 \pm (2\sqrt{10}\sqrt{\Im(z)} - 2i)}{\Im(z)}\]

Таким образом, у нас есть два решения:

\[z_1 = \frac{2 + 2\sqrt{10}\sqrt{\Im(z)} - 2i}{\Im(z)}\]

\[z_2 = \frac{2 - 2\sqrt{10}\sqrt{\Im(z)} - 2i}{\Im(z)}\]

Это комплексные числа, представленные в виде дробей. Для конкретного значения \(\Im(z)\) вы можете подставить его в эти выражения, чтобы получить числовые значения.