Question

Упростите выражение ctg^2α - cos^2α - ctg^2α*cos^2α

Answer 1

Давайте упростим выражение \( \cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha - \cot^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \), где \( \cot \alpha \) - котангенс угла \( \alpha \), а \( \cos \alpha \) - косинус угла \( \alpha \).

1. Заметим, что \( \cot^2 \alpha \) можно представить как \( \frac{1}{\tan^2 \alpha} \), а также что \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). Таким образом, \( \cot^2 \alpha = \frac{1}{\tan^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \).

2. Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \]

3. Общий знаменатель у дробей равен \( \sin^2 \alpha \). Умножим первую дробь на \( \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \), а вторую на \( \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \):

\[ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]

4. Сократим подобные члены:

\[ \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 0 \]

Таким образом, упрощенное выражение равно нулю: \( 0 \).