Question

Сколько девяток в десятичной записи числа 9999...9 в кубе (100девяток)

Answer 1

Для решения этой задачи давайте сначала разберемся с записью числа \(999...9\) в десятичной системе, где у нас 100 девяток.

Это число можно записать как \(9 \times 10^{99} + 9 \times 10^{98} + \ldots + 9 \times 10^1 + 9\).

Теперь давайте возведем это число в куб:

\[ (9 \times 10^{99} + 9 \times 10^{98} + \ldots + 9 \times 10^1 + 9)^3 \]

Это выражение можно умножить, используя формулу куба суммы:

\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]

где \(a = 9 \times 10^{99} + 9 \times 10^{98} + \ldots + 9 \times 10^1\) и \(b = 9\).

Теперь мы можем подставить значения:

\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]

\[ = (9 \times 10^{99} + 9 \times 10^{98} + \ldots + 9 \times 10^1)^3 + 3 \times (9 \times 10^{99} + 9 \times 10^{98} + \ldots + 9 \times 10^1)^2 \times 9 + 3 \times (9 \times 10^{99} + 9 \times 10^{98} + \ldots + 9 \times 10^1) \times 9^2 + 9^3 \]

Это довольно масштабное выражение, но мы видим, что каждый член содержит множители вида \(9 \times 10^k\), где \(k\) принимает значения от 1 до 99. Таким образом, каждый член будет иметь 100 девяток.

Следовательно, в десятичной записи числа \(999...9\) в кубе (с 100 девятками) также будет 100 девяток.