Question

Ребят!Помогите пожалуйста ,чем сможете! В последовательности, которая начинается с чисел 2013, 2014, 2015, сумма любых семи последовательных членов составляет 2016. Какое число стоит на 2017 месте? 2. Круг разбили на 4 равных сектора по 90 градусов . Сколькими способами мож- но его раскрасить, если есть 7 цветов и каждый сектор можно красить в любой цвет? Раскраски, которые совпадают при повороте круга, счи- тать одинаковыми. 3. Длины всех сторон прямоугольного треугольника выражаются целы- ми числами, при этом длина одного из катетов выражается простым числом, большим 3. Какие остатки при делении на 12 может давать число, выражающее длину другого катета? 4. В одном интернет-сообществе каждый из участников имеет ровно 22 друга (дружба обоюдная). При этом если два члена сети дружат, то у них нет общих друзей, а если не дружат, то у них ровно 6 общих друзей. Сколько человек в этом интернет-сообществе? 5. Сколькими различными способами можно разменять 1000 рублей, ис- пользуя только рублевые, 5-рублевые и 10-рублевые монеты

Answer 1

Давайте рассмотрим каждый из вопросов по порядку.

1. Последовательность чисел: Пусть \(a\) - первый член последовательности, тогда последовательность будет выглядеть как: \[a, a+1, a+2, \ldots, a+2016.\] Сумма семи последовательных членов составляет 2016: \[(a + (a+1) + (a+2) + \ldots + (a+6)) = 2016.\] Это арифметическая прогрессия, и среднее значение семи членов равно 2016/7. Поскольку мы начинаем с 2013, сумма первых семи членов будет 2013 + 2014 + 2015 + 2016 + 2017 + 2018 + 2019. Вычтем из этого значение 2016/7, чтобы получить 2017-й член: \[2013 + 2014 + 2015 + 2016 + 2017 + 2018 + 2019 - \frac{2016}{7} = 2017.\] Таким образом, число, стоящее на 2017 месте, равно 2017.

2. Раскраска круга: В каждом секторе можно выбрать один из 7 цветов, и так как круг разбит на 4 сектора, общее количество способов раскраски будет \(7^4\), так как каждый сектор независимо раскрашивается.

3. Прямоугольный треугольник: Поскольку длины всех сторон треугольника выражаются целыми числами, мы имеем дело с пифагоровой тройкой. Длина одного из катетов больше 3, и мы ищем остатки при делении этого катета на 12. Пифагорова тройка \(a, b, c\) удовлетворяет уравнению \(a^2 + b^2 = c^2\). Поскольку \(a\) - катет, который больше 3, давайте обозначим его через \(a = 3 + k\), где \(k\) - некоторое целое число. Тогда уравнение принимает вид: \[(3 + k)^2 + b^2 = c^2.\] Раскроем скобки и упростим: \[9 + 6k + k^2 + b^2 = c^2.\] Заметим, что \(9 + 6k + k^2\) делится на 3, и остатки при делении на 12 могут быть только 0, 3 или 9. Таким образом, остаток при делении \(b^2\) на 12 также должен быть 0, 3 или 9. Следовательно, остатки при делении на 12 для длины другого катета могут быть 0, 3, 6 или 9.

4. Интернет-сообщество: Пусть \(N\) - общее количество людей в сообществе. Каждый человек имеет 22 друга, и у каждой пары, не дружащей, ровно 6 общих друзей. Таким образом, каждый человек дружит с \(N-1-22 = N-23\) людьми, и у каждой пары друзей, дружащих, нет общих друзей. Таким образом, количество дружб в сообществе равно \(\frac{N(N-23)}{2}\). С другой стороны, количество дружб также равно \(N \times 22 - 6 \times \frac{N(N-1)}{2}\). Приравниваем эти два значения: \[\frac{N(N-23)}{2} = N \times 22 - 6 \times \frac{N(N-1)}{2}.\] Решая это уравнение, мы найдем значение \(N\).

5. Размен 1000 рублей: Для размена 1000 рублей используются монеты номиналом 1, 5 и 10 рублей. Предположим, что у нас \(a\) монет по 1 рублю, \(b\) монет по 5 рублей и \(c\) монет по 10 рублей. Уравнение для размена будет выглядеть так: \[a + 5b + 10c = 1000.\] Требуется решить это уравнение для целочисленных \(a, b, c\) при условии, что \(a, b, c \geq 0\).

Эти ответы дают общее решение для каждой из поставленных задач. Если у вас есть конкретные вопросы по какой-то из них или если вы хотите уточнить какие-то детали, дайте мне знать!