Question

1) Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и x2. Требуется: а) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента. б) сделать схематический чертеж: f(x)= 4x/x-5; x1=3; x2=5. 2)исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики. Найти скачок функции в точках разрыва: y= если x;  если 0 меньше чем x ; x-2 если х больше 2

Answer 1

Давай начнем с первого вопроса. Чтобы определить непрерывность функции \( y = f(x) \) в точке \( x = x_1 \) или \( x = x_2 \), нам нужно проверить три вещи: существует ли значение функции в этой точке, существует ли предел функции в этой точке, и равны ли эти значения.

Для функции \( f(x) = \frac{4x}{x-5} \) и \( x_1 = 3; x_2 = 5 \) проверим непрерывность:

а) Точка \( x = 3 \): - Проверим существование значения функции \( f(3) \): \( f(3) = \frac{4 \times 3}{3 - 5} = \frac{12}{-2} = -6 \). Значение существует. - Теперь проверим предел функции \( \lim_{{x \to 3}} f(x) \). В данном случае функция имеет разрыв в этой точке из-за деления на ноль в знаменателе. Значит, функция разрывна в точке \( x = 3 \).

б) Точка \( x = 5 \): - Проверим существование значения функции \( f(5) \): \( f(5) = \frac{4 \times 5}{5 - 5} = \frac{20}{0} \). Здесь мы также получаем деление на ноль, что означает, что значение функции не существует. - Проверим предел функции \( \lim_{{x \to 5}} f(x) \). Здесь снова у нас возникает разрыв из-за деления на ноль в знаменателе, поэтому предел не существует и функция разрывна в точке \( x = 5 \).

Теперь перейдем ко второму вопросу. У нас есть функция с разрывами в определенных точках.

Функция \( y \) определена следующим образом:

\[ y = \begin{cases} x, & \text{если } x \leq 0 \\ x - 2, & \text{если } x > 2 \end{cases} \]

Теперь рассмотрим непрерывность этой функции:

- Для \( x \leq 0 \): функция \( y = x \) непрерывна для всех значений \( x \leq 0 \), так как это просто прямая линия без разрывов или разрывов в точке \( x = 0 \). - Для \( x > 2 \): функция \( y = x - 2 \) также непрерывна для всех значений \( x > 2 \), так как это просто сдвинутая вниз прямая линия.

Теперь найдем скачки функции в точках разрыва:

- Скачок функции в точке \( x = 0 \) равен \( f(0+) - f(0-) = 0 - 0 = 0 \). - Скачок функции в точке \( x = 2 \) равен \( f(2+) - f(2-) = (2 - 2) - (2 - 2) = 0 \).

В обеих точках разрыва у нас нет скачков функции.

Чтобы построить графики этих функций, могу порекомендовать использовать программы для построения графиков, например, Python с библиотекой Matplotlib или онлайн-инструменты типа Desmos или GeoGebra.