Question

Дифференциальное уравнение dx/dy=4xsqrt(y-1), x=2, y=1

Answer 1

Дифференциальное уравнение dx/dy=4xsqrt(y-1) является уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной. Для его решения можно использовать метод разделения переменных, который заключается в том, что обе части уравнения умножаются на дифференциалы переменных и интегрируются. Таким образом, получаем:

dx/dy=4xsqrt(y-1) => dx/4x=dy/sqrt(y-1) =>

=> (1/4)ln|x|+C1=(2/3)(y-1)^(3/2)+C2 =>

=> ln|x|+4C1=(2/3)(y-1)^(3/2)+4C2 =>

=> ln|x|+C=(2/3)(y-1)^(3/2), где C=4C2-4C1 — произвольная постоянная.

Это общее решение дифференциального уравнения. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальному условию x=2, y=1, подставим эти значения в общее решение и найдём C:

ln|2|+C=(2/3)(1-1)^(3/2) =>

=> C=-ln|2|.

Тогда частное решение имеет вид:

ln|x|-ln|2|=(2/3)(y-1)^(3/2).

Для более подробного объяснения метода разделения переменных и примеров решения дифференциальных уравнений смотрите [здесь](https://mathdf.com/dif/ru/) или [здесь](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5).