Question

1.решите уравнение 1/2sin2+sin^2x-sinx=cosx. 2.при каких значениях параметров а и b неравенство (x+2a+1)(x=b-2) имеет решение -4

Answer 1

1. Решение уравнения \( \frac{1}{2}\sin^2x + \sin^2x - \sin x = \cos x \):

Давайте преобразуем уравнение, чтобы упростить его и найти решение. Умножим каждый член уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ \sin^2x + 2\sin^2x - 2\sin x = 2\cos x \]

Теперь объединим все члены синусов:

\[ 3\sin^2x - 2\sin x - 2\cos x = 0 \]

Мы видим, что это уравнение является квадратным относительно \(\sin x\). Решим его с использованием дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 3\), \(b = -2\), \(c = -2\):

\[ D = (-2)^2 - 4(3)(-2) = 4 + 24 = 28 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня \(\sin x\):

\[ \sin x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ \sin x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6} \]

\[ \sin x_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{6} \]

\[ \sin x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3} \]

Таким образом, уравнение имеет два решения:

\[ \sin x_1 = \frac{1 + \sqrt{7}}{3} \]

\[ \sin x_2 = \frac{1 - \sqrt{7}}{3} \]

2. Неравенство \((x + 2a + 1)(x - b - 2) \geq -4\) имеет решение при определенных значениях параметров \(a\) и \(b\). Давайте рассмотрим случаи:

- Если оба множителя положительны, то произведение также положительно. - Если оба множителя отрицательны, то произведение также положительно. - Если один из множителей равен нулю, то произведение также равно нулю.

Таким образом, для выполнения условия неравенства необходимо, чтобы оба множителя были положительными числами или равными нулю.

1. Пусть \(x + 2a + 1 > 0\) и \(x - b - 2 > 0\). Решим оба неравенства:

\[ x + 2a + 1 > 0 \Rightarrow x > -2a - 1 \] \[ x - b - 2 > 0 \Rightarrow x > b + 2 \]

Оба неравенства могут быть выполнены, если \(-2a - 1 < b + 2\). Это можно переписать как \(-2a < b + 3\), или, если умножить обе стороны на -1, \(2a > -b - 3\).

2. Пусть теперь один из множителей равен нулю:

- Если \(x + 2a + 1 = 0\), то \(x = -2a - 1\). - Если \(x - b - 2 = 0\), то \(x = b + 2\).

Таким образом, для выполнения условия неравенства необходимо, чтобы:

\[ 2a > -b - 3 \quad \text{или} \quad x = -2a - 1 \quad \text{или} \quad x = b + 2 \]

Это будет условием, при котором неравенство \((x + 2a + 1)(x - b - 2) \geq -4\) имеет решение.