Question

Найдите точку минимума функции у=х^3-192х+11

Answer 1

Для нахождения точки минимума функции y = x^3 - 192x + 11, нужно найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

По правилу дифференцирования степенной функции, производная функции y = x^3 равна 3x^2. Производная константы равна нулю. Таким образом, производная функции y = x^3 - 192x + 11 равна 3x^2 - 192.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: 3x^2 - 192 = 0

Добавляем 192 к обеим сторонам: 3x^2 = 192

Делим обе стороны на 3: x^2 = 64

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон: x = ±8

Таким образом, получаем две точки, в которых производная функции равна нулю: x = 8 и x = -8.

Для определения, является ли каждая из этих точек точкой минимума или максимума, можно проанализировать знак второй производной. Если вторая производная положительна в данной точке, то это точка минимума, если отрицательна - то максимума.

Вторая производная функции y = x^3 - 192x + 11 равна 6x. Подставляем значения x = 8 и x = -8 во вторую производную: 6 * 8 = 48 > 0 6 * -8 = -48 < 0

Таким образом, точка x = 8 является точкой минимума, а точка x = -8 является точкой максимума.

Для нахождения y-координаты точки минимума подставляем найденное значение x = 8 в исходную функцию: y = (8)^3 - 192(8) + 11 y = 512 - 1536 + 11 y = -1013

Таким образом, точка минимума функции y = x^3 - 192x + 11 имеет координаты (8, -1013).

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции y = x^3 - 192x + 11, нужно найти значение x, при котором функция достигает наименьшего значения y. Для этого можно использовать метод дифференцирования.

Шаг 1: Найдите производную функции

Для начала найдем производную функции y по x. Производная функции показывает ее скорость изменения в каждой точке.

Для функции y = x^3 - 192x + 11, возьмем производную:

dy/dx = 3x^2 - 192

Шаг 2: Найдите значения x, при которых производная равна нулю

Для найти точку минимума функции, найдем значения x, при которых производная равна нулю:

3x^2 - 192 = 0

Шаг 3: Решите уравнение для x

Решим уравнение:

3x^2 - 192 = 0

3x^2 = 192

x^2 = 192 / 3

x^2 = 64

x = ±√64

x = ±8

Шаг 4: Подставьте значения x в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y

Подставим найденные значения x = 8 и x = -8 в исходную функцию y = x^3 - 192x + 11:

Для x = 8:

y = (8)^3 - 192(8) + 11

y = 512 - 1536 + 11

y = -1013

Для x = -8:

y = (-8)^3 - 192(-8) + 11

y = -512 + 1536 + 11

y = 1035

Ответ

Точка минимума функции y = x^3 - 192x + 11 находится при x = -8, y = 1035. То есть, минимальное значение функции равно 1035 и достигается при x = -8.