Question

Вычислить. (cos 15º + sin 15º)²

Answer 1

Для вычисления выражения (cos 15º + sin 15º)², мы должны сначала вычислить значения cos 15º и sin 15º, а затем возвести их сумму в квадрат.

Вычисление cos 15º:

Для вычисления cos 15º мы можем использовать тригонометрическую формулу половинного угла: cos(2θ) = 2cos²θ - 1

Здесь θ = 15º, поэтому мы можем использовать формулу для cos(2θ), где вместо θ подставим 15º/2 = 7.5º: cos(15º) = cos(2 * 7.5º) = 2 * cos²(7.5º) - 1

Мы также знаем, что cos(30º) = √3/2. Используя эту информацию, мы можем переписать формулу следующим образом: cos(15º) = 2 * cos²(7.5º) - 1 = 2 * (cos²(30º) / 2) - 1 = 2 * (√3/2)² - 1 = 2 * 3/4 - 1 = 6/4 - 1 = 3/2 - 1 = 1/2

Таким образом, значение cos 15º равно 1/2.

Вычисление sin 15º:

Для вычисления sin 15º мы можем использовать ту же тригонометрическую формулу половинного угла: sin(2θ) = 2sinθcosθ

Здесь θ = 15º, поэтому мы можем использовать формулу для sin(2θ), где вместо θ подставим 15º/2 = 7.5º: sin(15º) = sin(2 * 7.5º) = 2 * sin(7.5º) * cos(7.5º)

Мы также знаем, что sin(30º) = 1/2 и cos(30º) = √3/2. Используя эту информацию, мы можем переписать формулу следующим образом: sin(15º) = 2 * sin(7.5º) * cos(7.5º) = 2 * (sin(30º) / 2) * (cos(30º) / 2) = 2 * (1/2) * (√3/2) = √3/2

Таким образом, значение sin 15º равно √3/2.

Вычисление (cos 15º + sin 15º)²:

Теперь мы можем подставить значения cos 15º и sin 15º в выражение (cos 15º + sin 15º)²: (cos 15º + sin 15º)² = (1/2 + √3/2)²

Чтобы упростить это выражение, мы можем использовать формулу (a + b)² = a² + 2ab + b²: (cos 15º + sin 15º)² = (1/2)² + 2 * (1/2) * (√3/2) + (√3/2)²

Выполняя вычисления, получаем: (cos 15º + sin 15º)² = 1/4 + √3/2 + 3/4 = 4/4 + √3/2 = 1 + √3/2

Таким образом, значение выражения (cos 15º + sin 15º)² равно 1 + √3/2.