Question

Найдите три последовательных чётных числа, если устроенный квадрат второго из них на 72 больше удвоенного произведения первого и третьего чисел(???)

Answer 1

Давайте обозначим три последовательных четных числа как \(2n, 2n+2\) и \(2n+4\), где \(n\) - целое число. Теперь составим уравнение на основе данной информации.

Условие гласит, что устроенный квадрат второго из этих чисел (т.е. \((2n + 2)^2\)) на 72 больше удвоенного произведения первого и третьего чисел (т.е. \(2 \cdot 2n \cdot (2n + 4)\)).

Математически это можно записать следующим образом:

\[(2n + 2)^2 = 2 \cdot 2n \cdot (2n + 4) + 72\]

Раскроем скобки:

\[4n^2 + 8n + 4 = 8n^2 + 16n + 72\]

Теперь приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону уравнения:

\[4n^2 - 8n - 68 = 0\]

Разделим все на 4, чтобы упростить уравнение:

\[n^2 - 2n - 17 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = -2\), и \(c = -17\). Подставим значения:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 4 + 68 = 72\]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

\[n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:

\[n_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{72}}{2}\]

\[n_{1,2} = 1 \pm 3\sqrt{2}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(n\):

\[n_1 = 1 + 3\sqrt{2}\] \[n_2 = 1 - 3\sqrt{2}\]

Теперь мы можем найти соответствующие четные числа:

1. Для \(n_1\): \[2n = 2(1 + 3\sqrt{2})\] \[2n + 2 = 2 + 6\sqrt{2}\] \[2n + 4 = -2 + 9\sqrt{2}\]

2. Для \(n_2\): \[2n = 2(1 - 3\sqrt{2})\] \[2n + 2 = 2 - 6\sqrt{2}\] \[2n + 4 = -2 - 9\sqrt{2}\]

Таким образом, у нас есть два набора последовательных четных чисел, которые удовлетворяют условиям задачи:

1. \(2 + 6\sqrt{2}\), \(2 - 6\sqrt{2}\), \(-2 + 9\sqrt{2}\) 2. \(2 - 6\sqrt{2}\), \(2 + 6\sqrt{2}\), \(-2 - 9\sqrt{2}\)