Question

В ящике в случайном порядке положены 10 деталей из которых 4 стандартных. Контролёр берёт наудачу 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окажется стандартной? нужно решение

Answer 1

Чтобы найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окажется стандартной, давайте воспользуемся методом дополнения.

Общее количество способов выбрать 3 детали из 10 равно сочетанию из 10 по 3:

\[ C(10,3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120. \]

Теперь рассмотрим количество способов выбрать 3 детали из нестандартных (т.е., не стандартных):

\[ C(6,3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20. \]

Таким образом, количество способов выбрать 3 детали так, чтобы все они были нестандартными, равно 20.

Теперь можем использовать метод дополнения. Вероятность того, что хотя бы одна деталь из выбранных будет стандартной, равна 1 минус вероятность того, что все три детали окажутся нестандартными:

\[ P(\text{хотя бы одна стандартная}) = 1 - P(\text{все нестандартные}). \]

\[ P(\text{хотя бы одна стандартная}) = 1 - \frac{\text{Количество способов выбрать 3 нестандартные}}{\text{Общее количество способов выбрать 3 детали}}. \]

\[ P(\text{хотя бы одна стандартная}) = 1 - \frac{20}{120} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}. \]

Таким образом, вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окажется стандартной, равна \(\frac{5}{6}\).