Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1.Найдите углы между векторами С1B и AA1

Answer 1

Для того чтобы найти угол между векторами \(\overrightarrow{C1B}\) и \(\overrightarrow{AA1}\) в пространстве, нужно использовать формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

\[\cos \theta = \frac{\overrightarrow{C1B} \cdot \overrightarrow{AA1}}{|\overrightarrow{C1B}| \cdot |\overrightarrow{AA1}|},\]

где \(\theta\) - угол между векторами, \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(|\overrightarrow{C1B}|\) и \(|\overrightarrow{AA1}|\) - их длины.

Сначала найдем вектора \(\overrightarrow{C1B}\) и \(\overrightarrow{AA1}\):

1. \(\overrightarrow{C1B}\) - это вектор, направленный от точки \(C1\) к точке \(B\). Пусть \(C1 = (x_1, y_1, z_1)\), \(B = (x_2, y_2, z_2)\), тогда вектор \(\overrightarrow{C1B}\) можно выразить как \(\overrightarrow{C1B} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 \rangle\).

2. \(\overrightarrow{AA1}\) - вектор, направленный от точки \(A\) к точке \(A1\). Пусть \(A = (x_3, y_3, z_3)\), \(A1 = (x_4, y_4, z_4)\), тогда вектор \(\overrightarrow{AA1}\) можно выразить как \(\overrightarrow{AA1} = \langle x_4 - x_3, y_4 - y_3, z_4 - z_3 \rangle\).

Теперь найдем длины этих векторов:

Длина вектора \(\overrightarrow{C1B}\) (\(|\overrightarrow{C1B}|\)):

\[|\overrightarrow{C1B}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Длина вектора \(\overrightarrow{AA1}\) (\(|\overrightarrow{AA1}|\)):

\[|\overrightarrow{AA1}| = \sqrt{(x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2 + (z_4 - z_3)^2}\]

И, наконец, вычислим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{C1B}\) и \(\overrightarrow{AA1}\):

\[\overrightarrow{C1B} \cdot \overrightarrow{AA1} = (x_2 - x_1)(x_4 - x_3) + (y_2 - y_1)(y_4 - y_3) + (z_2 - z_1)(z_4 - z_3)\]

Подставим полученные значения в формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

\[\cos \theta = \frac{\overrightarrow{C1B} \cdot \overrightarrow{AA1}}{|\overrightarrow{C1B}| \cdot |\overrightarrow{AA1}|}\]

и найдем значение угла \(\theta\):

\[\theta = \arccos \left(\frac{\overrightarrow{C1B} \cdot \overrightarrow{AA1}}{|\overrightarrow{C1B}| \cdot |\overrightarrow{AA1}|}\right)\]

Эти вычисления позволят определить угол между векторами \(\overrightarrow{C1B}\) и \(\overrightarrow{AA1}\) в данном кубе \(ABCDA1B1C1D1\).