Question

Решить дифференциальное уравнение xy"-y'=x^2cosx

Answer 1

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод вариации произвольной постоянной. Давайте приступим к решению шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем общее решение однородной части уравнения. Уравнение xy" - y' = 0 является однородным дифференциальным уравнением, так как правая часть равна нулю. Для его решения, предположим, что y имеет вид y = x^r, где r - неизвестная степень.

Тогда, найдем y' и y": y' = rx^(r-1) и y" = r(r-1)x^(r-2).

Подставим эти значения в исходное уравнение: x(rx^(r-1)) - rx^(r-1) = 0.

Упростим это уравнение: r(x^(r-1)) - r(x^(r-1)) = 0.

Получаем: r(x^(r-1) - x^(r-1)) = 0.

Так как x^(r-1) - x^(r-1) = 0, то r может быть любым числом. Таким образом, общее решение однородной части уравнения имеет вид y_h = Cx^r, где C - произвольная постоянная.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородной части уравнения. Для нахождения частного решения неоднородной части уравнения, мы будем использовать метод вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид y_p = A(x)x^r, где A(x) - неизвестная функция, а r - такое же значение, как и в однородной части.

Тогда, найдем y_p', y_p" и подставим их в исходное уравнение: y_p' = A'(x)x^r + A(x)rx^(r-1), y_p" = A''(x)x^r + A'(x)rx^(r-1) + A(x)r(r-1)x^(r-2).

Подставляем значения в исходное уравнение: x(A''(x)x^r + A'(x)rx^(r-1) + A(x)r(r-1)x^(r-2)) - (A'(x)x^r + A(x)rx^(r-1)) = x^2cos(x).

Упростим это уравнение: A''(x)x^(r+1) + A'(x)rx^r - A'(x)x^r - A(x)rx^(r-1) = x^2cos(x).

Так как уравнение должно выполняться для всех значений x, то коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равными. Сравним коэффициенты при x^r, x^(r+1) и константе:

A''(x)x^(r+1) - A'(x)x^r = 0, A'(x)rx^r - A(x)rx^(r-1) = 0.

Решим эти уравнения для A(x): A''(x) = 0, решением будет A(x) = C1x + C2, где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь, найдем y_p = A(x)x^r: y_p = (C1x + C2)x^r.

Шаг 3: Общее решение неоднородного уравнения. Общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородной части и частного решения неоднородной части: y = y_h + y_p = Cx^r + (C1x + C2)x^r.

Это и есть общее решение дифференциального уравнения xy" - y' = x^2cos(x)+.

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном решении был сделан предположение о виде решения и использован метод вариации постоянных. В зависимости от конкретных условий задачи, могут потребоваться дополнительные шаги или другие методы решения.