Question

Різниця між медіаною та висотою, що проведені до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 1 см. Основа даної висоти відстоїть від центра кола, описаного навколо трикутника,на 7 см. Знайдіть периметр трикутника.

Answer 1

Давайте позначимо дані елементи прямокутного трикутника:

- \(a\), \(b\) - катети трикутника, - \(c\) - гіпотенуза, - \(h\) - висота, проведена до гіпотенузи.

Згідно з умовою маємо: \(h - m = 1\) (де \(m\) - медіана) і \(r = 7\) (де \(r\) - радіус описаного кола).

Тепер використаємо відомий факт: для прямокутного трикутника медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи. Тобто \(m = \frac{c}{2}\).

Тепер можемо записати систему рівнянь:

1. \(h - \frac{c}{2} = 1\) 2. \(r = 7\)

Знаючи, що \(h = \sqrt{a \cdot b}\) (за теоремою Піфагора) та \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), підставимо ці значення у систему:

1. \(\sqrt{a \cdot b} - \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = 1\) 2. \(7 = 7\)

Розглянемо перше рівняння ближче:

\(\sqrt{a \cdot b} - \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = 1\)

Помножимо обидві сторони на 2, щоб позбутися знаменника:

\(2\sqrt{a \cdot b} - \sqrt{a^2 + b^2} = 2\)

Тепер піднесемо обидві сторони до квадрата:

\(4ab - (a^2 + b^2) = 4\)

Підставимо \(c^2\) замість \(a^2 + b^2\), згідно теореми Піфагора:

\(4ab - c^2 = 4\)

Тепер підставимо значення радіуса \(r = 7\):

\(4ab - 49 = 4\)

Отже, \(4ab = 53\).

Тепер маємо систему рівнянь:

1. \(4ab = 53\) 2. \(r = 7\)

Тепер можемо знайти катети \(a\) і \(b\):

\[a = \frac{53}{4 \cdot 7}, \quad b = \frac{53}{4 \cdot 7}\]

Тепер знаходимо гіпотенузу \(c\) за теоремою Піфагора:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Знаючи значення \(a\), \(b\), і \(c\), можна знайти периметр трикутника, який обчислюється за формулою:

\[P = a + b + c\]

Підставимо значення і розрахуємо периметр.