Question

Найти площадь фигуры, ограниченной оси абцисс и графиком функции у=|x|(x-1)

Answer 1

Для нахождения площади фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции \(y = |x|(x-1)\), нужно выразить эту площадь в виде определенного интеграла. Площадь фигуры можно найти как разность между интегралом функции и осью абсцисс в заданных пределах.

Итак, у нас есть функция \(y = |x|(x-1)\). Но поскольку у нас есть модуль, нужно рассмотреть два случая: \(x \geq 0\) и \(x < 0\).

1. Для \(x \geq 0\): \(y = x(x-1)\) 2. Для \(x < 0\): \(y = -x(x-1)\)

Теперь рассмотрим точку пересечения графика с осью \(x\), которая равна нулю. В этой точке график меняет свой характер, и мы должны интегрировать по обоим частям от \(x = 0\) до точки пересечения.

1. Для \(x \geq 0\): \(\int_{0}^{1} x(x-1) \,dx\) 2. Для \(x < 0\): \(\int_{-1}^{0} -x(x-1) \,dx\)

Теперь найдем эти интегралы:

1. \(\int_{0}^{1} x(x-1) \,dx = \frac{1}{3}\) 2. \(\int_{-1}^{0} -x(x-1) \,dx = \frac{1}{3}\)

Суммируем эти результаты (так как они имеют одинаковое значение) и умножаем на 2 (так как фигура симметрична относительно оси \(y\)):

\[2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции \(y = |x|(x-1)\), равна \(\frac{2}{3}\).