Question

Геометрическая прогрессия состоит из четырёх членов,сумма крайних её членов равна 45,а произведение средних равно 200.Найдите первый член и знаменатель.

Answer 1

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии через \(a\) и знаменатель через \(q\). Тогда члены прогрессии будут:

1. \(a\) (первый член), 2. \(aq\) (второй член), 3. \(aq^2\) (третий член), 4. \(aq^3\) (четвертый член).

Сумма крайних членов (первого и четвертого) равна 45:

\[a + aq^3 = 45\]

Произведение средних членов (второго и третьего) равно 200:

\[(aq)(aq^2) = 200\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} a + aq^3 = 45 \\ aq \cdot aq^2 = 200 \end{cases} \]

Давайте решим эту систему. Сначала разберемся с уравнением \( aq \cdot aq^2 = 200 \). Упростим его:

\[ a^2q^3 = 200 \]

Теперь подставим это в первое уравнение:

\[ a + a^2q^3 = 45 \]

\[ a(1 + aq^3) = 45 \]

Теперь мы можем выразить \(a\) через \(q\) из этого уравнения:

\[ a = \frac{45}{1 + aq^3} \]

Теперь подставим это обратно в уравнение \( a^2q^3 = 200 \):

\[ \left(\frac{45}{1 + aq^3}\right)^2 \cdot q^3 = 200 \]

Теперь у нас есть уравнение относительно \(q\), которое мы можем решить. После решения уравнения найденное значение \(q\) подставим обратно, чтобы найти \(a\).