Question

Какое из уравнений НЕ имеет решений(подробно каждый пример) 1)х2-3х-11 меньше 0 2)х2-3х+11 меньше 0 3)х2-3х+11 больше 0 4)х2-3х-11 больше 0

Answer 1

Конечно, давай разберём каждое уравнение.

1) \(x^2 - 3x - 11 < 0\)

Чтобы понять, имеет ли это уравнение решения, нам нужно решить его неравенство. Мы можем воспользоваться графиком функции или методом интервалов. Например, можно найти корни квадратного уравнения и посмотреть, в каких интервалах функция \(x^2 - 3x - 11\) отрицательна.

Сначала найдём корни уравнения \(x^2 - 3x - 11 = 0\). Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\] \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11)\] \[D = 9 + 44\] \[D = 53\]

Дискриминант равен 53, что означает, что уравнение имеет два различных действительных корня. Посчитаем сами корни:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x = \frac{3 \pm \sqrt{53}}{2}\]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 3x - 11 = 0\) равны \(x = \frac{3 + \sqrt{53}}{2}\) и \(x = \frac{3 - \sqrt{53}}{2}\).

Теперь давайте посмотрим, в каких интервалах функция \(x^2 - 3x - 11\) меньше нуля. Мы знаем, что корни уравнения разбивают ось \(x\) на три интервала: \((-\infty, \frac{3 - \sqrt{53}}{2})\), \((\frac{3 - \sqrt{53}}{2}, \frac{3 + \sqrt{53}}{2})\), и \((\frac{3 + \sqrt{53}}{2}, +\infty)\). Мы можем выбрать точку в каждом интервале и проверить знак функции, чтобы определить, когда она отрицательна.

Для примера возьмём \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = 4\), чтобы проверить знак функции в каждом интервале.

\[x^2 - 3x - 11 < 0\] \[0^2 - 3 \cdot 0 - 11 < 0\] \(-11 < 0\) - выполняется при \(x = 0\) (в первом интервале)

\[x^2 - 3x - 11 < 0\] \[2^2 - 3 \cdot 2 - 11 < 0\] \(-5 < 0\) - выполняется при \(x = 2\) (во втором интервале)

\[x^2 - 3x - 11 < 0\] \[4^2 - 3 \cdot 4 - 11 < 0\] \[9 - 12 - 11 < 0\] \(-14 < 0\) - не выполняется при \(x = 4\) (в третьем интервале)

Итак, функция \(x^2 - 3x - 11\) отрицательна при \(x\) из интервалов \((-\infty, \frac{3 - \sqrt{53}}{2})\) и \((\frac{3 - \sqrt{53}}{2}, \frac{3 + \sqrt{53}}{2})\).

Теперь перейдём к следующему уравнению:

2) \(x^2 - 3x + 11 < 0\)

Для этого уравнения процесс будет таким же, как и для первого. Посчитаем корни уравнения \(x^2 - 3x + 11 = 0\):

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11\] \[D = 9 - 44\] \[D = -35\]

Дискриминант отрицательный, значит, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что квадратное уравнение \(x^2 - 3x + 11 = 0\) не пересекает ось \(x\) и, следовательно, не меняет знак. Это означает, что оно не имеет решений для \(x\), удовлетворяющих условию \(x^2 - 3x + 11 < 0\).

Теперь давайте перейдём к третьему уравнению:

3) \(x^2 - 3x + 11 > 0\)

Аналогично первому уравнению, найдём его корни:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11\] \[D = 9 - 44\] \[D = -35\]

Как и в предыдущем случае, дискриминант отрицательный, значит, уравнение \(x^2 - 3x + 11 = 0\) не имеет действительных корней. Это означает, что уравнение \(x^2 - 3x + 11\) не пересекает ось \(x\) и, следовательно, не меняет знак. Таким образом, данное уравнение не имеет решений, удовлетворяющих условию \(x^2 - 3x + 11 > 0\).

И, наконец, последнее уравнение:

4) \(x^2 - 3x - 11 > 0\)

Повторим процесс нахождения корней и определения знака функции на интервалах. Найдём корни уравнения \(x^2 - 3x - 11 =