Question

Доброго времени суток. =) Доказать, что функция f(x) и g(x) при x→0 являются бесконечно малыми одного порядка малости. Помогите пожалуйста, очень прошу.

Answer 1

Доброго времени суток! Конечно, я могу помочь разобраться в этом вопросе.

Для того чтобы доказать, что функции \(f(x)\) и \(g(x)\) при \(x \to 0\) являются бесконечно малыми одного порядка, мы можем воспользоваться определением предела функции.

Пусть \(f(x)\) и \(g(x)\) — две функции. Мы хотим показать, что они обе стремятся к нулю при \(x \to 0\) и их отношение остается ограниченным.

Функция \(f(x)\) называется бесконечно малой при \(x \to 0\), если для любого положительного числа \(\varepsilon > 0\) существует такое положительное число \(\delta > 0\), что для всех \(x\) из интервала \((0, \delta)\) выполняется неравенство \(|f(x)| < \varepsilon\).

Аналогично, функция \(g(x)\) называется бесконечно малой при \(x \to 0\), если для любого положительного числа \(\varepsilon > 0\) существует такое положительное число \(\delta > 0\), что для всех \(x\) из интервала \((0, \delta)\) выполняется неравенство \(|g(x)| < \varepsilon\).

Если обе функции \(f(x)\) и \(g(x)\) удовлетворяют этим определениям, то они являются бесконечно малыми одного порядка.

Проиллюстрируем это более конкретным примером. Пусть у нас есть две функции:

\[ f(x) = 3x^2 \] \[ g(x) = 2x^2 \]

Теперь давайте докажем, что они являются бесконечно малыми одного порядка при \(x \to 0\).

1. Функция \(f(x)\): \[ |f(x)| = |3x^2| = 3x^2 \] Теперь выберем \(\varepsilon > 0\). Мы хотим, чтобы \(3x^2 < \varepsilon\). Решим это неравенство относительно \(x\): \[ x^2 < \frac{\varepsilon}{3} \] Из этого следует, что мы можем взять \(\delta = \sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}\). Тогда, если \(0 < x < \delta\), то \(3x^2 < \varepsilon\), что соответствует определению бесконечно малой.

2. Функция \(g(x)\): Аналогично для \(g(x)\), мы выбираем \(\varepsilon > 0\) и решаем неравенство \(2x^2 < \varepsilon\). Положим \(\delta = \sqrt{\frac{\varepsilon}{2}}\). Тогда, если \(0 < x < \delta\), то \(2x^2 < \varepsilon\), что также соответствует определению бесконечно малой.

Таким образом, для функций \(f(x) = 3x^2\) и \(g(x) = 2x^2\) мы выбрали соответствующие \(\delta\) для любого заданного \(\varepsilon\), что доказывает, что они являются бесконечно малыми одного порядка при \(x \to 0\).

Answer 2

Для того чтобы доказать, что функции f(x) и g(x) при x→0 являются бесконечно малыми одного порядка малости, нужно показать, что их пределы при x→0 равны нулю.

Для функции f(x): lim(x→0) f(x) = 0

Для функции g(x): lim(x→0) g(x) = 0

То есть, при стремлении x к нулю, значения функций f(x) и g(x) становятся все ближе к нулю. Это означает, что функции f(x) и g(x) яв