Question

Найдите угол между векторами а(1;1;1)и b(-2;-2;-2)

Answer 1

Угол между двумя векторами можно найти, используя формулу для косинуса угла между векторами:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}, \]

где \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) - скалярное произведение векторов, \(\|\mathbf{a}\|\) и \(\|\mathbf{b}\|\) - длины векторов.

Для векторов \(\mathbf{a} = (1, 1, 1)\) и \(\mathbf{b} = (-2, -2, -2)\):

1. Сначала вычислим скалярное произведение векторов:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1 \cdot -2) + (1 \cdot -2) + (1 \cdot -2) = -2 - 2 - 2 = -6. \]

2. Затем найдем длины векторов:

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}, \]

\[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{12}. \]

3. Теперь мы можем подставить значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos \theta = \frac{-6}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}}. \]

4. Упростим выражение:

\[ \cos \theta = \frac{-6}{\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{-6}{2 \cdot 3} = -1. \]

Теперь найдем угол \(\theta\):

\[ \theta = \cos^{-1}(-1). \]

Угол \(\theta\) равен \(180^\circ\). Таким образом, угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равен \(180^\circ\).