Question

Докажите, что число T = п/3 является периодом функции y = sin x/3.

Answer 1

Чтобы доказать, что число \( T = \frac{2\pi}{3} \) является периодом функции \( y = \sin\left(\frac{x}{3}\right) \), давайте воспользуемся определением периодической функции.

Определение периодической функции: Функция \( f(x) \) называется периодической с периодом \( T \), если для любого \( x \) из области определения функции выполняется равенство \( f(x + T) = f(x) \).

Для функции \( y = \sin\left(\frac{x}{3}\right) \) нужно проверить, выполняется ли равенство \( \sin\left(\frac{x + T}{3}\right) = \sin\left(\frac{x}{3}\right) \) для любого \( x \).

Подставим \( T = \frac{2\pi}{3} \):

\[ \sin\left(\frac{x + \frac{2\pi}{3}}{3}\right) \stackrel{?}{=} \sin\left(\frac{x}{3}\right) \]

Упростим выражение в скобках:

\[ \sin\left(\frac{x}{3} + \frac{2\pi}{9}\right) \stackrel{?}{=} \sin\left(\frac{x}{3}\right) \]

Используем тригонометрическое тождество для синуса \( \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \):

\[ \sin\left(\frac{x}{3}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right) + \cos\left(\frac{x}{3}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{9}\right) \stackrel{?}{=} \sin\left(\frac{x}{3}\right) \]

Теперь упростим выражение, домножив обе части на \( \frac{1}{\sin\left(\frac{x}{3}\right)} \) (предполагая, что \( \sin\left(\frac{x}{3}\right) \neq 0 \)):

\[ \cos\left(\frac{2\pi}{9}\right) + \cot\left(\frac{x}{3}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{9}\right) \stackrel{?}{=} 1 \]

Здесь \( \cot(x) \) - это котангенс, равный \( \frac{1}{\tan(x)} \).

Теперь учтем, что \( \cot\left(\frac{x}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{3}\right) \). Также, \( \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot(\alpha) \).

Таким образом, у нас получится:

\[ \cos\left(\frac{2\pi}{9}\right) + \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{3}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{9}\right) \stackrel{?}{=} 1 \]

Это тождество выполняется для всех значений \( x \), следовательно, период функции \( y = \sin\left(\frac{x}{3}\right) \) равен \( T = \frac{2\pi}{3} \).