Question

Исследовать на монотонность 1.y=x^3-3x 2.y=-3x^2+12x

Answer 1

Чтобы исследовать функции \( y = x^3 - 3x + 2 \) и \( y = -3x^2 + 12x \) на монотонность, нужно проанализировать их производные.

1. Функция \( y = x^3 - 3x + 2 \):

Сначала найдем производную этой функции, которая покажет наклон (скорость изменения) функции в каждой точке: \[ y = x^3 - 3x + 2 \] \[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3 \]

Теперь рассмотрим знак производной в различных интервалах: - Когда \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3 > 0 \): \[ 3x^2 - 3 > 0 \] \[ 3x^2 > 3 \] \[ x^2 > 1 \] \[ x > 1 \] или \( x < -1 \)

- Когда \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3 < 0 \): \[ 3x^2 - 3 < 0 \] \[ 3x^2 < 3 \] \[ x^2 < 1 \] \[ -1 < x < 1 \]

Таким образом, производная \( \frac{dy}{dx} \) положительна при \( x > 1 \) и \( x < -1 \), отрицательна при \( -1 < x < 1 \). Это означает, что функция \( y = x^3 - 3x + 2 \) возрастает при \( x > 1 \) и \( x < -1 \), и убывает при \( -1 < x < 1 \).

2. Функция \( y = -3x^2 + 12x \):

Теперь найдем производную этой функции: \[ y = -3x^2 + 12x \] \[ \frac{dy}{dx} = -6x + 12 \]

Рассмотрим знак производной в различных интервалах: - Когда \( \frac{dy}{dx} = -6x + 12 > 0 \): \[ -6x + 12 > 0 \] \[ -6x > -12 \] \[ x < 2 \]

- Когда \( \frac{dy}{dx} = -6x + 12 < 0 \): \[ -6x + 12 < 0 \] \[ -6x < -12 \] \[ x > 2 \]

Таким образом, производная \( \frac{dy}{dx} \) положительна при \( x < 2 \) и отрицательна при \( x > 2 \). Это означает, что функция \( y = -3x^2 + 12x \) убывает при \( x < 2 \) и возрастает при \( x > 2 \).

В заключении, исследование на монотонность этих двух функций показывает следующее: - \( y = x^3 - 3x + 2 \) возрастает при \( x > 1 \) и \( x < -1 \), убывает при \( -1 < x < 1 \). - \( y = -3x^2 + 12x \) убывает при \( x < 2 \) и возрастает при \( x > 2 \).