Question

Докажите неравенство (x+y)^2≥4xy

Answer 1

Для доказательства неравенства $(x+y)^2 \geq 4xy$, можно воспользоваться различными методами. Один из способов - это использование алгебраических преобразований.

Доказательство неравенства $(x+y)^2 \geq 4xy$:

Мы начнем со стандартной формы квадратного трехчлена:

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Теперь нам нужно показать, что $x^2 + 2xy + y^2 \geq 4xy$.

Давайте вычтем $4xy$ из обеих частей неравенства:

$x^2 + 2xy + y^2 - 4xy \geq 0$

Сгруппируем члены:

$x^2 - 2xy + y^2 \geq 0$

Теперь проведем факторизацию:

$(x-y)^2 \geq 0$

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому $(x-y)^2 \geq 0$.

Таким образом, мы доказали исходное неравенство $(x+y)^2 \geq 4xy$.

Заключение:

Неравенство $(x+y)^2 \geq 4xy$ доказано с использованием алгебраических преобразований и факторизации. Это неравенство верно для любых действительных чисел $x$ и $y$.