Question

Найти ромб с наибольшей площадью,если известно, что сумма длин его диагоналей равна 10.

Answer 1

Давайте обозначим длины диагоналей ромба через \(d_1\) и \(d_2\). Так как ромб - это четырехугольник, все его стороны равны между собой, и диагонали делят его на четыре равных треугольника.

Известно, что сумма длин диагоналей ромба равна 10:

\[d_1 + d_2 = 10\]

Площадь ромба можно выразить через длины его диагоналей следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\]

Теперь мы можем выразить одну из диагоналей через другую из уравнения суммы длин:

\[d_1 = 10 - d_2\]

Подставим это выражение для \(d_1\) в формулу для площади:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (10 - d_2) \cdot d_2\]

Упростим выражение:

\[S = 5d_2 - \frac{1}{2}d_2^2\]

Теперь, чтобы найти максимальное значение площади, возьмем производную \(S\) по \(d_2\) и приравняем ее к нулю:

\[ \frac{dS}{dd_2} = 5 - d_2 = 0 \]

Отсюда получаем \(d_2 = 5\). Теперь мы можем использовать это значение, чтобы найти \(d_1\):

\[d_1 = 10 - d_2 = 10 - 5 = 5\]

Таким образом, длины диагоналей ромба, который имеет максимальную площадь при условии, что их сумма равна 10, равны 5 и 5. Ромб с наибольшей площадью - это квадрат со стороной 5, и, следовательно, его площадь равна \(5 \times 5 = 25\).