Question

1-2+3-4+5-6+...+1999-2000+2001=?

Answer 1

Данная сумма представляет собой арифметическую прогрессию, где каждый член последовательности выглядит как \( (-1)^n \cdot n \), где \( n \) - порядковый номер члена последовательности.

Таким образом, ваша сумма имеет вид: \[ S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots + 1999 - 2000 + 2001 \]

Мы можем разбить эту сумму на две части: четные и нечетные члены.

1. Четные члены: \[ -2 - 4 - 6 - \ldots - 2000 \] Обозначим эту сумму через \( S_{\text{чет}} \).

2. Нечетные члены: \[ 1 + 3 + 5 + \ldots + 1999 + 2001 \] Обозначим эту сумму через \( S_{\text{нечет}} \).

Теперь посмотрим на сумму нечетных чисел. Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a = 1 \), последним членом \( 2001 \), и шагом \( d = 2 \) (так как только нечетные числа). Мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии: \[ S_{\text{нечет}} = \frac{n}{2} \cdot (a + l) \] где \( n \) - количество членов последовательности, \( a \) - первый член, \( l \) - последний член.

В данном случае: \[ n = \frac{2001 - 1}{2} + 1 = 1001 \] \[ a = 1 \] \[ l = 2001 \]

Подставим значения: \[ S_{\text{нечет}} = \frac{1001}{2} \cdot (1 + 2001) \] \[ S_{\text{нечет}} = 1001 \cdot 1001 \]

Теперь вернемся к сумме четных чисел. Это тоже арифметическая прогрессия с первым членом \( a = -2 \), последним членом \( -2000 \), и шагом \( d = -2 \). Мы также можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии: \[ S_{\text{чет}} = \frac{n}{2} \cdot (a + l) \] где \( n \) - количество членов последовательности, \( a \) - первый член, \( l \) - последний член.

В данном случае: \[ n = \frac{-2000 - (-2)}{-2} + 1 = 1000 \] \[ a = -2 \] \[ l = -2000 \]

Подставим значения: \[ S_{\text{чет}} = \frac{1000}{2} \cdot (-2 + (-2000)) \] \[ S_{\text{чет}} = -1000 \cdot 1998 \]

Теперь сложим обе части суммы: \[ S = S_{\text{чет}} + S_{\text{нечет}} \] \[ S = -1000 \cdot 1998 + 1001 \cdot 1001 \]

Таким образом, сумма данной последовательности равна \( -1,997,998 \).