Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=2-x^2, y=0, x=-1, x=0

Answer 1

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нам необходимо определить, как эти линии ограничивают область и какая форма у этой области.

Дано: - Линия у = 2 - x^2 - Линия y = 0 (это ось x) - Линия x = -1 - Линия x = 0

Определение области

Для начала, давайте построим график этих линий, чтобы визуально представить, как они ограничивают фигуру:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y1 = 2 - x**2
y2 = np.zeros_like(x)

plt.plot(x, y1, label='y = 2 - x^2')
plt.plot(x, y2, label='y = 0')
plt.axvline(x=-1, linestyle='--', color='red', label='x = -1')
plt.axvline(x=0, linestyle='--', color='green', label='x = 0')

plt.fill_between(x, y1, y2, where=(x >= -1) & (x <= 0), color='gray', alpha=0.5)
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Фигура, ограниченная линиями')
plt.grid(True)
plt.show()


По графику видно, что фигура ограничена линиями y = 2 - x^2, y = 0, x = -1 и x = 0. Обратите внимание, что она имеет форму параболы, ограниченной на оси x между x = -1 и x = 0.

Вычисление площади

Метод 1: Интеграл

Мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл. Поскольку наша фигура имеет форму параболы, мы можем использовать интеграл для вычисления площади под кривой:

$$S = \int_{-1}^{0} (2 - x^2) \, dx$$

Вычислим этот интеграл:

$$S = \left[2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0} = 0 - \left(-2 - \frac{1}{3}\right) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$

Метод 2: Геометрический подход

Мы также можем использовать геометрический подход для вычисления площади. Фигура ограничена на оси x между x = -1 и x = 0, и на оси y внизу она ограничена осью x (y = 0). Поэтому площадь фигуры можно вычислить как разность между площадью параболы и площадью треугольника:

$$S = S_{\text{параболы}} - S_{\text{треугольника}}$$

Площадь параболы

Площадь параболы можно вычислить с использованием интеграла, как показано ранее:

$$S_{\text{параболы}} = \int_{-1}^{0} (2 - x^2) \, dx = \frac{7}{3}$$

Площадь треугольника

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу площади треугольника:

$$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$

Основание треугольника равно расстоянию между x = -1 и x = 0, то есть 1. Высота треугольника равна значению y на x = 0, то есть 2 - 0^2 = 2. Подставим значения в формулу:

$$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$$

Вычисление площади фигуры

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, подставив значения в геометрическую формулу:

$$S = S_{\text{параболы}} - S_{\text{треугольника}} = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}$$

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 - x^2, y = 0, x = -1 и x = 0, равна 4/3 или 1.333 (округленно).