Question

Докажите,что число 100....004 (между 1 и 4 стоит любое число нулей) не является квадратом целого числа

Answer 1

Число $10.....04$ можно записать как    $10^n+4$ где $n\in N$
Положим что существует такое число $x^2$ , что 
$10^n+4=x^2$ 
воспользуемся таким фактом, квадрат числа сравним по модулю $3$   c $1$ и $0$. 
Слева число четное так как оканчивается на цифру $4$,  так как число 
 $10^n\equiv1 \ (mod3)$ а число  $4$  с $1$, то остаток равен $2$  что не верно  , не может быть что слева делиться а справа нет 
ч.т.д

Answer 2

10^k+4=x^2  10^k=x^2-4=(x-2)(x+2)  число
10^k  может иметь  делитель 10^n  5^n  2^n   n<=k
тогда  если  эти  числа будут делителем x-2,то  не одни из них  не будет делителем x+2 (на 4  больше) То есть  такое невозможно.