Question

Вычислить неопределённый интеграл. Результат проверить дифференцированием. e^xdx/e^x-e^-x

Answer 1

$\int \frac{e^{x}\, dx}{e^{x}-e^{-x}} =\int \frac{e^{x}}{e^{x}-\frac{1}{e^{x}}} =\int \frac{e^{x}\, dx}{\frac{e^{2x}-1}{e^{x}} }= \int \frac{e^{2x}\, dx}{e^{2x}-1} =\\\\=[\, t=e^{2x}-1\; ,\; dt=2e^{2x}\, dx\; ,\; e^{2x}=t+1\, ]=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \int \frac{dt}{t} =\frac{1}{2}\cdot ln|t|+C=\frac{1}{2}\cdot ln|e^{2x}-1|+C$