Question

От пса в будке до кота идет прямая дорожка. На середину дорожки положили килограмм сосисок, и животные одновременно бросились к ним. Кот бегает вдвое быстрее пса, а ест вдвое медленнее. Добежав до сосисок, оба ели без драки, и кот съел вдвое больше пса. А какую часть сосисок съел бы кот, если бы их положили на дорожку втрое ближе к псу, чем к коту? Помогите пожалуйста срочно!!!

Answer 1

Они бросились к сосискам одновременно, в момент T0.
В момент T0 + t прибежал кот. В момент T0 + 2t прибежал пес.
Закончили они есть одновременно, в T0+T1, но кот начал на t сек раньше.
Пусть скорость еды кота x кг в сек, тогда скорость пса 2x кг в сек.
Кот ел со скоростью x кг в сек в течение времени T1-t сек.
А пес ел со скоростью 2x кг в сек в течение времени T1-2t сек.
И кот съел в итоге в 2 раза больше пса, а всего был 1 кг сосисок.
Значит, кот съел 2/3 кг, а пес 1/3 кг. Составляем систему
{ x*(T1 - t) = 2/3
{ 2x*(T1 - 2t) = 1/3
Раскрываем скобки и умножаем оба уравнения на 3
{ 3x*T1 - 3x*t = 2
{ 6x*T1 - 12x*t = 1
Умножаем 1 уравнение на -2 и складываем уравнения
-12x*t + 6x*t = -4 + 1
-6x*t = -3
x*t = (-3)/(-6) = 1/2
x = 1/(2t)

Если бы сосиски положили втрое ближе к псу, чем к коту, то есть на расстоянии 1/4 между ними (а от кота расстояние равно 3/4 расстояния между ними), то пес прибежал бы за 2t/2 = t сек, а кот, бегая в 2 раза быстрее, пробежал бы в 3 раза дальше за время 3/2*t = 1,5t сек.
Значит, пес начал есть в момент T0+t сек, а кот в T0+1,5t сек.
Далее, пес ест в 2 раза быстрее, со скоростью 2x кг/сек, а кот x кг/сек.
И закончили они одновременно в момент T2.
Кот ел в течение времени T2 - 1,5t со скоростью x кг в сек.
А пес ел в течение времени T2 - t со скоростью 2x кг в сек.
И вместе они съели 1 кг сосисок.
x(T2 - 1,5t) + 2x*(T2 - t) = 1
x*(T2 - 1,5t + 2T2 - 2t) = 1
x*(3T2 - 3,5t) = 1
Из решения 1 задачи мы знаем, что x = 1/(2t)
3T2/(2t) - 3,5t/(2t) = 1
3/2*T2/t = 1 + 3,5/2 = 1 + 7/4 = 11/4
6*T2/t = 11
T2 = 11*t/6
Кот съел бы x*(T2 - 1,5t) = 1/(2t)*(11t/6 - 9t/6) = 1/(2t)*2t/6 = 1/6 часть сосисок.