Question

Исследуйте функцию и постройте ее график y=x^4-2x^2

Answer 1

Решение: 
1) Область определения D(y) : x≠2 
2) Множество значений функции Е (х) : 
3) Проверим является ли функция периодической: 
y(x)=x^4/(4-2x) 
y(-x)=(-x)^4/(4-2(-x))=x^4/(4+x), так как у (х) ≠y(-x); y(-x)≠-y(x), то функция не является ни четной ни нечетной. 
4) Найдем нули функции: 
у=0; x^4/(4-2x)=0; x^4=0; x=0 
График пересекает оси координат в точке (0;0) 
5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции, а так же точки экстремума: 
y'(x)=(4x³(4-2x)+2x^4)/(4-2x)²=(16x³-6x^4)/(4-2x)²; y'=0 
(16x³-6x^4)/(4-2x)²=0 
16x³-6x^4=0 
x³(16-6x)=0 
x1=0 
x2=8/3 
Так как на промежутках (-∞;0) (8/3;∞) y'(x)< 0, то на этих промежутках функция убывает 
Так как на промежутках (0;2) и (2;8/3) y(x)> 0, то на этих промежутках функция возрастает. 
В точке х=0 функция имеет минимум у (0)=0 
В точке х=8/3 функция имеет максимум у (8/3)=-1024/27≈-37.9 
6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости: 
y'=((16-24x³)(4-2x)²+4(4-2x)(16x-6x^4))/(4-2x)^4=(24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³; y"=0 
(24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³=0 уравнение не имеет корней. 
Следовательно: 
так как на промежутке (-∞;2) y"> 0, тона этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз. 
Так как на промежутке (2;☆) y"< 0, то на этом промежутке график функции напрвлен выпуклостью вверх. 
7) Найдем асимптоты : 
а) Вертикальные, для этого найдем доносторонние пределы в точке разрыва: 
lim (при х->2-0) (x^4/(4-2x)=+∞ 
lim (при х->2+0) (x^4/(4-2x)=-∞ 
Так как односторонние пределы бесконечны, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода и прямая х=2 является вертикальной асимптотой. 
б) наклонные y=kx+b 
k=lim (при х->∞)(y(x)/x)= lim (при х->∞)(x^4/(x(4-2x))=∞ наклонных асимптот функция не имеет. 
8) все, строй график