Question

Определить при каких значениях a и b многочлен x3+ax2+2x+b делится на x2+x+1.

Answer 1

Ответ: a = 2; b = 1.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы определить, при каких значениях \(a\) и \(b\) многочлен \(x^3 + ax^2 + 2x + b\) делится на \(x^2 + x + 1\), нужно воспользоваться условием деления многочленов.

Пусть у нас есть многочлен \(P(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b\) и делитель \(D(x) = x^2 + x + 1\). Если \(P(x)\) делится на \(D(x)\), то остаток от деления должен быть равен нулю.

Деление многочленов можно выполнить, используя долгое деление или синтетическое деление. В данном случае, для наглядности, воспользуемся синтетическим делением.

У нас есть:

\[P(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b\] \[D(x) = x^2 + x + 1\]

Представим \(D(x)\) в виде \(x^3 - 1\) (мы можем вычесть из \(x^3 + x^2 + x + 1\) выражение \(x^2 + x\), чтобы получить \(x^2 + x + 1\)).

Теперь проведем синтетическое деление:

\[ \begin{array}{|c|cccc|} \hline & 1 & a & 2 & b \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ \hline & 1 & 1 + a & 2 + a & (b - a) + 2 \\ \hline \end{array} \]

Таким образом, условие деления \(P(x)\) на \(D(x)\) — остаток равен нулю — приводит к системе уравнений:

\[1 + a = 0\] \[2 + a = 0\] \[(b - a) + 2 = 0\]

Решив эту систему, мы найдем значения \(a\) и \(b\), при которых многочлен делится на \(x^2 + x + 1\).

Решение системы:

\[a = -1\] \[b = 3\]

Таким образом, при \(a = -1\) и \(b = 3\) многочлен \(x^3 + ax^2 + 2x + b\) делится на \(x^2 + x + 1\).