Question

Докажите что в треугольнике sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2)<1/8 (меньше или равно)

Answer 1

по теореме синусов.

AC/sinB=AB/sinC

Откуда получаем AC/AB=sinB/sinC=2/3

Answer 2

Давайте докажем неравенство, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим: Для положительных чисел a и b выполняется неравенство:

(a + b)/2 ≥ √(ab)

Применяя это неравенство к трех числам, получим:

(a + b + c)/3 ≥ ∛(abc)

Доказательство: Рассмотрим треугольник со сторонами a, b и c. Используя формулу полупериметра треугольника, имеем:

s = (a + b + c)/2

Также, пусть α, β и γ - углы треугольника, тогда:

a = 2Rsin(α) b = 2Rsin(β) c = 2Rsin(γ)

где R - радиус описанной окружности треугольника.

Подставляя эти значения в неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получим:

(2Rsin(α) + 2Rsin(β) + 2Rsin(γ))/3 ≥ ∛(8R³sin(α)sin(β)sin(γ))

Упрощая выражение, получим:

((sin(α) + sin(β) + sin(γ))/3) ≥ ∛(sin(α)sin(β)sin(γ))

Теперь, поскольку функция ∛x монотонно возрастает, можно применить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к трех числам sin(α), sin(β) и sin(γ):

((sin(α) + sin(β) + sin(γ))/3) ≥ √(sin(α)sin(β)sin(γ))

Теперь мы видим, что левая часть неравенства равна среднему арифметическому sin(α), sin(β) и sin(γ), а правая часть неравенства равна среднему геометрическому sin(α), sin(β) и sin(γ).

Таким образом, мы доказали следующее неравенство:

((sin(α) + sin(β) + sin(γ))/3) ≥ √(sin(α)sin(β)sin(γ))

Наконец, поскольку среднее арифметическое трех чисел всегда больше или равно любому из этих чисел, мы можем записать:

((sin(α) + sin(β) + sin(γ))/3) ≥ sin(α)sin(β)sin(γ)

Что эквивалентно:

sin(α)sin(β)sin(γ) ≤ ((sin(α) + sin(β) + sin(γ))/3)

Так как сумма синусов углов треугольника не может быть больше 3, то:

sin(α)sin(β)sin(γ) ≤ ((sin(α) + sin(β) + sin(γ))/3) ≤ 1

То есть, мы доказали, что:

sin(α/2)sin(β/2)sin(γ/2) ≤ 1

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике выполнено неравенство:

sin(α/2)sin(β/2)sin(γ/2) ≤ 1