Question

F(x) = x^3-6x^2+9x+5. экзамен по математике помогите мне пожалуйста найти промежутки убывания и возрастания функции

Answer 1

Я так понимаю:
F(x) = x³-6x²+9x+5
первая производная:
f(x)=3x²-12x+9
теперь находим нули:
3х²-12х+9=0
х1=1
х2=3
функция возрастает:
(-∞;1)
f(x) больше 0
функция убывает:
(1;3)
f(x) меньше 0
функция возрастает:
(3;+∞)
f(x) больше 0
точка максимум - х=1
точка минимум - х=3

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки убывания и возрастания функции F(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5, мы сначала найдем ее производную и выясним, когда она положительна и отрицательна.

Нахождение производной функции F(x)

Для нахождения производной функции F(x), мы применим правила дифференцирования для каждого члена функции. Производная функции F(x) будет равна:

F'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Анализ знака производной

Теперь мы рассмотрим знак производной F'(x) на различных интервалах числовой оси, чтобы определить промежутки убывания и возрастания функции F(x).

1. Найдем точки, где производная F'(x) равна нулю: 3x^2 - 12x + 9 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта или разложение на множители. После решения уравнения мы получим значения x1 и x2. Эти значения будут точками, где производная равна нулю.

2. Разобьем числовую ось на интервалы с использованием найденных точек и выберем тестовую точку в каждом интервале для определения знака производной.

- Выберем точку x < x1 и подставим ее в F'(x). Если F'(x) > 0, то функция возрастает на этом интервале. - Выберем точку x1 < x < x2 и подставим ее в F'(x). Если F'(x) < 0, то функция убывает на этом интервале. - Выберем точку x > x2 и подставим ее в F'(x). Если F'(x) > 0, то функция возрастает на этом интервале.

3. Используя полученную информацию, мы можем определить промежутки убывания и возрастания функции F(x).

Вычисление точек, где производная равна нулю

Для нахождения точек, где производная F'(x) равна нулю, решим квадратное уравнение:

3x^2 - 12x + 9 = 0

Дискриминант D для этого уравнения равен:

D = (-12)^2 - 4 * 3 * 9 = 144 - 108 = 36

Так как D > 0, то у уравнения два различных действительных корня. Решим уравнение:

x1 = (-(-12) + sqrt(36)) / (2 * 3) = (12 + 6) / 6 = 3 x2 = (-(-12) - sqrt(36)) / (2 * 3) = (12 - 6) / 6 = 1

Таким образом, у нас есть две точки, где производная равна нулю: x1 = 3 и x2 = 1.

Определение знака производной на интервалах

Теперь, чтобы определить знак производной F'(x) и промежутки убывания и возрастания функции F(x), мы выберем тестовую точку в каждом интервале и подставим ее в F'(x).

1. При x < 1: - Выберем тестовую точку x = 0. - Подставим x = 0 в F'(x): F'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 - Так как F'(0) > 0, функция F(x) возрастает на интервале (-∞, 1).

2. При 1 < x < 3: - Выберем тестовую точку x = 2. - Подставим x = 2 в F'(x): F'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = -3 - Так как F'(2) < 0, функция F(x) убывает на интервале (1, 3).

3. При x > 3: - Выберем тестовую точку x = 4. - Подставим x = 4 в F'(x): F'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 9 - Так как F'(4) > 0, функция F(x) возрастает на интервале (3, +∞).

Определение промежутков убывания и возрастания функции F(x)

Исходя из результатов предыдущего анализа, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция F(x) возрастает на интервале (-∞, 1) и (3, +∞). - Функция F(x) убывает на интервале (1, 3).

Таким образом, промежутки возрастания функции F(x) - (-∞, 1) и (3, +∞), а промежуток убывания - (1, 3).